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《15第十五讲：数列中的研究型、探索型、开放型问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十五讲数列中的研究型、探索型、开放型问题一、引言近几年的高考数学考试人纲在谈到对创新意识的考杏要求中明确指岀，对创新意识的考查是对高层次理性思维的考杳，并且要求精心设计……研究型、探索型、开放型试题，以此考查学生的数学素养和潜在能力.纵观历年的高考数学试卷，这类试题中以数列为背景的试题校多，主要冇归纳猜想型、自主定义型、类比推理型、探索发现型、研究设计型等类型的问题.二、典型问题选讲1.归纳猜想型例1根据下面的图形及和应的点数的规律，请写出点数构成的数列的-个通项公式.•e•••••••••••.•••••••
2、°•••••通项公式是；通项公式是分析：观察图形中点的分布规律，再进行屋化归纳.解：先看第一组图：每个图都有4个分支，我们设第7T个图屮点的个数为易知第一个图中每个分支各有1个点，故a】=4x1；第二个图小每个分支各有2个点，故a?=4x2；第三个图中每个分支各冇3个点，故他=4x3；第72个图中每个分支各有72个点，故an=4xn.再看第二纽图:第一个四边形中每边上有1个点，故舛=4x1+1；第二个四边形中每边上有2个点，故a?=4x2+1；第三个四边形中每边上冇3个点，故偽=4x3+1；第72个四边形中每边上
3、育72个点，故an=4/2+1.归纳小结：本题着重考查文字语言、图形语言和符号语言相互之间的转译，考查归纳猜想的推理方式，冇一定的新意.解决这类问题的棊木思路是观察图形，分析特点，归纳猜想.例2（2008江苏）将全体正整数排成一个三介形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第H（n>3）^7从左向右的第3个数为.分析：分析三角形数表的规律，不难发现，数表中每一个数都等于它在正整数数列屮的项数.因此只協求出笫〃（”>3）行第3个数在正整数数列中是笫几项即町•解：观察这个三角形数阵每行数的个数，易得，第1行
4、有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……,一般地，第”-1行有〃-1个数.I大I此第〃（/I>3）行从左向右的第3个数是正整数集合中从小到大第[1+2+3+・・・+（斤-1）]+3个数.十"rr/一〃+6啲[1+2+3+…+（〃一1）]+3=,2十/7F?-4-6第n（n>3）行从左向右的第3个数是・2归纳小结：此题求解屮常常因为看不出三角形数阵的规律，或不知道什么样的规律对解题冇用，导致求解不知从何下手.本题具冇一定的创新性.冇意识地运用观察一一试验——归纳一一猜想的方法是求解这类数列问题的有效途径，必须
5、熟练掌握.1.自主定义型例3（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列.这个常数叫做这个数列的公和.己知数列｛%｝是等和数列，且勺=2,公和为5,那么务的值为,这个数列的前〃项和S“的计算公式为•分析:根据问题中给出的等和数列的定义，易知，满足色+Q卄严p（p为常数，nwN」的数列是等和数列｛©｝（本题中有％曲=5）.于是，逐一迭代即可.解：（第一空）Q]8=5_也7=5_（5_角6）=®6=5_Q]5=5_（5_Q[4）=勺4=•••=02
6、=5—a】=3.（第二空）S“的结果与川的奇偶性有关.nn当斤为偶数时，前〃项屮共有上个奇数项，上个偶数项.注意到所有的奇数项都等于2,22Iln5/?所有的偶数项都等于3,故S„=2.-+3.-=—・222当〃为奇数时，“―1为偶数，S”=S-+2=勿_D+2=.22■¥仪为偶数），所以—；
7、号5为奇数）.归纳小结：这里，“等和数列”是自主定义的一个全新概念.要使问题得到圆满解决，必须真正领会“等和数列”的含义.木题是用即刻学到的“等和数列”的定义这一知识，解决从未见过的求“等和数列”的指定项以及前"项和的问题
8、，体现了对自主学习能力的有力考査.£+S+•••+S例4设数列｛afl｝的前〃项和为S”，令7；=H,称7；为数列坷，勺，…,n色的“理想数”，已知数列坷，勺，…，®oo5的“理想数”为2012,那么数列—1,坷，。2,…，。]005的“理想数”是•分析：题冃中所说的一个数列的“理想数”是这个数列前〃项和构成的新数列｛S”｝中前〃个数的算术平均值.注意到所求“理想数”的牛成数列比己知“理想数”的牛成数列多了一项-1,因此，只要找出所求“理想数”与已知“理想数”的关系，问题即町获解.解：设A”=S
9、+S,+・・・+
10、S”，则卩如二&+S2+…+几）（）5二益=2012,"12“100510051005从而A1005=2012x1005.-1006+A1005=-1006+2012x1005=_1+2x1005=20()9>所以_]+(_]+S])+(_l+S2)(_]+S]005)100610061006归纳小结：此题门主定义了一个数列的“理想数”，着重考查了对“理想数”的认识和理解
