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1、江南大学现代远程教育第三阶段练习题考试科目：《线性代数》第四章(总分100分)学习中心(教学点)批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一.选择题(每题10分)1.有向量组0=(1,0,3)心2=(4,0,2),0=(A)时，0是0,色的线性组合。(a)(0,0,0)(b)(0,2,4)(c)(1,1,0)(d)(0,・1,0)2.若向量组，线性相关，则(C)。(a)ava2,a^a4，中至少有一个零向量(b)esaS，中至少有两个向量成比例(c)中至少有一个向量可由其余向量线性表示(d)apa2,a3,a4，中至少有一部分组线性相关3.下述结论中不正确的有(C)。(a)若
2、向量Q与0正交，则2q与30也正交(b)若向量0与向量0],&2都正交，则0与少+也也正交(C)若向量Q与0正交，则Q与0中至少有一个向量是零向量(d)若向量Q与任意同维向量正交，则Q是零向量二.解答题(70分，第一题20分，第二题10分，第三题22分，第四题18分)'-110、1.(20分)求矩阵-430的特征值及特征向量.「102丿解：特征多项式为A+l-104兄一30=(A-l)2(2-2)-102-2故，属于2的特征向量满足r3-10、4-10jc=o、-10oy可解得特征向黄为x-cx0其中勺不为零.属于1的特征向第满足"2-10、4-20x=、-】0-ly可解得特征向
3、量为x=Cj2、7其中5不为零.1.(1()分)将线性无关的向量组匕=(1,2,1几色=(2,3,3几他=(3,7,1)丁正交化.a,=(l,2J)r,a2=(2,3,3/,=(X7,l)r正交化.解：应用公武02F-跆恥(2,3,3)「-yd,2,1/=《，-歹禹北率0华0瑞娜角=（3切一孰罚一彳（存
4、,孑=6Q22、1.（22分）求正交矩阵Q,使Q-}AQ为对角矩阵，其屮A=212<221丿A—1-2-2-2兄-1-2-2-2无一1=(2^1)2(A-5)故.特征值为丄・1,5,属于・1的特征向量满足x-o可解得特征向量为其中C[,5不全为零.属于5的特征向量满足[4_2-
5、2-24-2_2'-24丿X-O可解得特征向量为Tx=c31丄其中G不为零.取0严好（1,0,-1几角“2-豁炉（HO）弓（I，。厂1）~（扌厂1,护取^=（1,1,1/・*再正交化，有绮谕如啣吹卸空总甘"ir如如却所以1.（18分）己知3阶矩阵A的特征值为6,7,8:⑴求2A的特征值伙为任意实数）；（2）求的特征值;（3）求/+A的特征值.解：由題设Aa—*(1)2Aa=2^a■所以24的特征值为2人,，即12.14,16;⑵Aa=^a=>a=A'%a==>A~la=—a,川》的特征值为丄，即1/6.1/7,1/8：.A)A)(3)(/+/1)«=0+人0=(1+入)仪，所以，
6、/+点的特征值为1+心，即7,8,9.
