对勾函数(图像及概念)-(3949)

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1、--对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当bx=a的时候。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=b，那么，增区间：{x

2、x≤-k}∪{x

3、x≥k}；a减区间：{x

4、-k≤x<0}∪{x

5、0

6、左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，(a-b)2≥0，展开就是a2-2ab+b2≥0，有a2+b2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到(a+b)2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2ab。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2ab＝2ab，这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=b，对应的xaf(x)=2ab。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样

7、：(a+b)/2≥ab，前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有=x-1，4/x2=4x-2。明白了吧，xb=ax+bx-1，求导方法一样，求的的导函数为a+(-b)x-2，令f'(x)=0，计

8、算得到b=ax2，结果f(x)=ax+x仍然是x=b，如果需要的话算出f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那a个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它

9、是不是双曲线还众说不一。-----当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值--------