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1、4、2、3直线与圆的方程的应用(一)【教学目标】利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题【教学重难点】教学重点：直线的知识以及圆的知识教学难点：用坐标法解决平面儿何.【教学过程】—、复习准备：(1)直线方程有儿种形式？分别为什么？(2)圆的方程有几种形式?分别是哪些？(3)求圆的方程时，什么条件下，用标准方程?什么条件下用一般方程？(4)直线与圆的方程在牛产.牛活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢？(5)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？(6)如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？二、讲授新课：提出问题、自主探究
2、例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以•下计算：圆拱跨度AB=84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：支柱A3P3的长度(精确到0.01米).方法一：在RtAAh0屮R2=422+(R-15)2可求出半径R,而在RtPyCO+1P&2=R2_2F,:.A3P3=P3C-A^O,从而可求得血為长度。能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？方法二：先求圆的方程，再把求长度看成鬥的纵坐标。首先应建立坐标系。如何建系？四种不同的建系方案：丿P6AlA2A$A4ASA6分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以
3、互相协作，相互探讨。归纳总结、巩固步骤总结解决应用问题的步骤：(1)审题--分清条件和结论，将实际问题数学化；(2)建模--将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；(3)解模--求解数学问题，得出数学结论；(4)还原--根据实际意义检验结论，还原为实际问题.流程图：实际问题学问题UO结论■—＞实际问题结论(审题)(建模)(解模)(还原)变式训练：某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。有一货船，装满货过桥，顶部宽4米,水面以上高3米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？深入讨论、
4、提炼思想在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何.中的计算。这一“新方法”在初等儿何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，PE丄AD于E,探求线段PE与BC的数量关系。/⑴I昭韵旳.AJ思路：把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时PE=—BC.2对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面
5、儿何知识加以证明？证明：(平面几何法)连接AP并延长交圆P于点F,连接DF,CF,VZ3=Z4・••在RtZADF和RtZJAHB中Z1=Z2*.•Z5=Z1+Z7,Z6=Z2+Z7/.Z5=Z6①又VZACF=90°且ZCHD=90°CF〃BD②由①②可得四边形CFDB为等腰梯形
6、CB
7、=
8、FD
9、又V
10、FD
11、=2
12、PE
13、A
14、BC
15、=2
16、PE
17、用“建系”这一新工具尝试证明：(解析几何法)以AC,BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设A(d,O),C(c,O),D(d,O).用勾股定理，
18、PE
19、=^R2-AE2,其屮E为AD屮
20、点；先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。设圆方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,考虑到圆与兀轴交于A、C两点，令尸0,得关于x的一元「二次方程5曲"乍。，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标心〒，同理可得圆心的纵坐标心字。应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出,…/Q+cb+d、圆心的P坐标(一-—,—-—)022变式练习：设Q为BC的屮点，则QHHPE,如何用代数方法证明这一结论呢?还能有什
21、么其他发现？(1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一-组对边的平方和等于另一组对边的平方和；(1)若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条刈*角线Z积等于两组对边Z积的和；（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。课堂小结：（1）直线与圆的方程在实际问题和平面儿何屮的一些应用；（2）解决实际问题的具体步骤……审题、建模、解模、还原；（3）解决儿何问题的新方法……解析法，主要数学思想是通过代数方法研究儿何问题，达到数形结合的一种完美境界。用坐标'法解决平面儿何问题的“三步曲”：第一
22、步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的儿何元素，将平面儿何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译
