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《1动点相似三角形问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1因动点产生的相似三角形问题例12013年上海市中考第24题如图1,在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax+bx(tz>0)经过点A和兀轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=20°・(1)求这条抛物线的表达式；(2)连结OM,求ZAOM的大小；(3)如果点C在工轴上，且△43(?与厶AOM和似，求点C的处标.脛路点拨1.笫(2)题把求ZAOM的大小，转化为求ZBOM的大小.2.因为ZBOM=ZABO=30°,因此点C在点B的右侧时，恰好有ZABC=ZAOM.3.根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△4BC与△ACW相
2、似.满分解答(1)如图2,过点A作丄y轴，垂足为在RtAAOH中，>40=2,ZAOH=30°,所以AH=1,OH=^3.所以A(—1,/3).因为抛物线与x轴交于0、8(2,0)两点，设y=ax(x—2),代入点4(一1,巧)，可得a-・3所以抛物线的表达式为丁=2a/3X(2)由严旦「巫XJ1(X书_亘,，3333得抛物线的顶点M的朋标为(1,_.所以tanZB0M=a/33•所以ZBOM=3(T•所以ZAOM=i50°•(3)由A(—1,希)、B(2,0).M(l,-f),得tanZABO=,AB=2爲,OM=半nA厂所以ZABO=30
3、°,=V3.因此当点C在点〃右侧时，ZABC=ZAOM=50°.OM△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3,当—=-^-=^3时，BC二字二举=2.此时C(4,0).BCOMV3V3②如图4,当竺==时，BC=y5BA=*x2y5=6・此时C(8,0).图3图4考盍伸展在木题情境下，如果△ABC与ABOM相似，求点C的坐标.如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形，ZABO=30°，因此△ABC也是底角为30。的等腰三角形，AB=AC,根据对称性，点C的朋标为（-4,0）.图5例22012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线y=
4、lx2--（ft+l）x+-（〃是实数且b>2）与兀轴的正半轴分别交•444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C.（1）点3的处标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且APBC是以点P为直角顶点的等腰肓•角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB屮的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的朋标；如果不存在，请说明理由.思路点
5、拨1.第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.2.联结OP,把四边形PCOB^新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示.3.第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴乖直的总线上.满分解答（1）B的坐标为（人0）,点C的坐标为（0,-）.4（2）如图2,过点P作PD丄兀轴，PE丄y轴，垂足分别为£>、E,那么△PDB竺厶PEC.因此PD=PE.设点P的坐标为（x,X）.如图3,联结OP.所以S四边形pcob=S“co+Srpb（）=—x—-x+—xb'
6、X=—bx=2b.2428解得x=-・所以点P的坐标为555图2图3(3)由y=-x2--(fe+l)x+-=-(x-l)(x-/?)，得A(1,O),OA=1.4444①如图4,以04、OC为邻边构造矩形OAQC,那么QC^/QOA.当岂二型，即02=BAOA时，/XBQA^/XQOA.QAOA所以占)2"-1・解得/7=8±4V3.所以符合题意的点Q为(1,2+73).4②如图5,以OC为直径的圆与直线尢=1交于点0那么ZOQC=90。。因此△OCQs/xqoa.当型=0时，bQAs'QOM此时ZOQB=90°.QAOA考点伸展笫(3)
7、题的思路是，A、C、。三点是确定的，3是兀轴正半轴上待定的点，而ZQOA与ZQOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.这样，先根据△0。4与厶QOC札I似把点Q的位置确定下来，再根据两肓角边对应成比例确定点B的位置.如图中，圆与直线x=l的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点3的位置距离点A很近，这与OB=4OC矛盾.例32012年黄冈市中考模拟第25题如图1,已知抛物线的方程Cl：y=-—(兀+2)(兀-加)(加＞0)与兀轴交于点3、C,与my轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点
8、M(2,2),求实数m的值；(2)在(1)的条件下，求ABCE的面积；(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小，求出点H
