相似三角形---动点问题.doc

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1、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从

2、C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N． （1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与

3、△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC？ （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何

4、值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5又∵AD=AB，AD=5t∴t=1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=； 如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即

5、：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．综上，t的值为或或或．2【答案】分析：（1）过点P，作PD⊥BC于D，利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得PD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解；（2）分PC=QC和PC=QC两种情况进行讨论，求解；（3）PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，分为两圆外切和内切两种情况进行讨论．在直角△PFQ中利用勾股定理即可得到关于t的方程，从而求解．解答：解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米由题意得：AP=2t，则CQ=t，则PC=10-2t（1）①过点P，作PD⊥BC于D，

6、∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米∴PD=AB=3米，∴S=•QC•PD=3.75平方米；②过点Q，作QE⊥PC于点E，易知Rt△QEC∽Rt△ABC，∴=，解得：QE=，∴S=•PC•QE=•（10-2t）•=-+3t（0＜t≤5）（2）当t=秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PC=PQ）时，△CPQ为等腰三角形；∵△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，∴AC===10，当PC=QC时，PC=10-2t，QC=t，即10-2t=t，解得t=秒；当PQ=CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE=，CQ=t，可证△CEQ∽△C

7、BA，故=，即=，解得t=秒；当PC=PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE=，PC=10-2t，可证△PCE∽△ACB，故=，即=，解得t=秒（3）如图3，过点P作PF⊥BC于点F．则△PCF∽△ACB∴==，即==∴PF=6-，FC=8-则在直角△PFQ中，PQ2=PF2+FQ2=（6-）2+（8--t）2=t2-56t+100如图4，当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t，此时PQ2=t2-56t+100=9t2，整理得：t2+70t-125=0解得：t1=15-