资源描述：
《初中数学联赛辅导九年级专题二十二--四点共圆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一、知识要点1.四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.2.运用有关定理或结论：（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径.（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆.（3）对于凸四边形ABCD,对角互补O四点共圆.（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P,AP•PC=BP•PDo四点共圆.（5）割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P,PA・PB=PCPDo四点共圆.（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD,ABCD+ADBC=ACBDo四
2、点共圆.二、典型例题例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：E、F、G、H四点共圆.例2如图，在AABC中，AD丄BC,DE丄AB,DF丄AC.求证：B、E、F、C四点共圆.例3如图，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F.求证：C、D、E、F四点共圆.例4如图，H为ZABC的垂心，Hl、H2、H3为H点关于各边的对称点.求证：A、B、C、H］、H2、H3六点共圆.例5（托勒密定理的逆定理）在凸四边形ABCD屮，如果AC・BD=AB・CD+BC-AD.求证：A,B,C,D四点共圆.三、巩固练习（一）选择题
3、1.设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式:(1)sinA=sinC；(2)sinA+sinC=O；(3)cosB+cosD=0；(4)cosB=cosD.其中总能成立的关系式的个数是（）.A.一个B.两个C.三个2.下面的四边形有外接圆的一定是（）.A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.四个D.两个角互补的四边形3.四边形ABCD内接于圆，ZA：ZB：ZC=7：6：3,则ZD等于（A.36°B.72°C.144°D.54°D6.7.8.（二）填空题如图2,ZXABC中,如图3,AABC中,ZCED二如图4,ZkABC中,ZB=60°,AC二3cm,
4、则AABC的外接圆半径为ZACB二65°,BD丄AC于D,CE±AB于E,则ZAED=AD是ZBAC的平分线，延长AD交AABC的外接圆于E,已知ABF,m=b,BE二C,则AE=4.如图1,在四边形ABCD中，AB二BOAD二AC,AH丄CD于H,CP丄BC交AH于P,若AB=羽,AP=1,则BD等于().A.2^2B.2C.35.对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；②内角相等的圆内接四边形是正四边形.以下四个结论中正确的是（）・D.①，②都错②对A.①，②都对B.①对，②错C.①错，9.如图5,正方形ABCD的屮心为0,面积为1989cm2
5、,P为正方形内一点，且Z0PB二45°,PA:PB=5:14,则PB二10.如图6,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1,CD£,2那么AD二（三）解答题11.如图7,在ZABC中，AD为高线，DE丄AB于E,DF丄AC于F.求证：B、C、F、E四点共12.如图8,四边形ABCD内接于圆，八D、BC的延长线交于F,AB,DC的延长线交于E,EG平分ZAED交BC于M,交AD于G,FH平分ZAFB交AB于H,交CD于N.求证：EG丄FH.13.如图9,AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E.求证：ACAE+
6、BDBE=AB2.B14・如图10,0为凸五边形ABCDE内一点，且Z1=Z2,Z3=Z4,Z5=Z6,Z7=Z&求证：Z9与Z10相等或互补.A(10)15.如图11,AABC内接于圆，P为上一点，PD丄AB于D,PE丄BC于E,PF丄AC于F.求证：I）、E、F三点共线.
