初中数学联赛辅导九年级专题二十二--四点共圆.docx

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1、初中数学联赛赛前辅导讲义专题二十二四点共圆一、知识要点1.四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．2.运用有关定理或结论：（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．（3）对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆.（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，四点共圆.（5）割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，四点共圆.（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，四点共圆.二、典型例题例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边

2、的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．例2如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．　初中数学联赛赛前辅导讲义例3如图，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F．求证：C、D、E、F四点共圆．例4如图，H为△ABC的垂心，H1、H2、H3为H点关于各边的对称点．求证：A、B、C、H1、H2、H3六点共圆．例5（托勒密定理的逆定理）在凸四边形ABCD中，如果AC·BD=AB·CD＋BC·AD．求证：A，B，C，D四点共圆．初中数学联赛赛前辅导讲义三、巩固练习（一）选择题1．设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

3、(1)sinA=sinC；(2)sinA+sinC=0；(3)cosB+cosD=0；(4)cosB=cosD．其中总能成立的关系式的个数是()．A．一个B．两个C．三个D．四个2．下面的四边形有外接圆的一定是()．A．平行四边形B．梯形C．等腰梯形D．两个角互补的四边形3．四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C=7：6：3，则∠D等于()．A．36ºB．72ºC．144ºD．54º4．如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AD=AC，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若，AP=1，则BD等于()．A．B．2C．3D．5．对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；②内角相

4、等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是()．A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错（二）填空题6．如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为．7．如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=,∠CED=．8．如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE=，DE＝．9．如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA∶PB＝5∶14，则PB=．10．如图6，四边形ABCD内接于以A

5、D为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，，那么AD=．初中数学联赛赛前辅导讲义（三）解答题11．如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：B、C、F、E四点共圆．12．如图8，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于F，AB，DC的延长线交于E，EG平分∠AED交BC于M，交AD于G，FH平分∠AFB交AB于H，交CD于N．求证：EG⊥FH．13．如图9，AD、BC为过圆的直径AB两端点的弦，且BD与AC相交于E．求证：．初中数学联赛赛前辅导讲义14．如图10，O为凸五边形ABCDE内一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8．求证：

6、∠9与∠10相等或互补．15．如图11，△ABC内接于圆，P为上一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．求证：D、E、F三点共线．初中数学联赛赛前辅导讲义