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1、二次函数与线段问题1•已知抛物线经过点A(T,O)、3(3,0)、C(0,—3).(I)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；(II)直线CD交兀轴于点£过抛物线上在对称轴右边的点P，7作y轴的平行线交X轴于点F,交直线CD于点M，使PM=-EF,请求岀点P的坐标；(III)将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与(II)中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度？解：(I)设抛物线解析式为Wx+l)(x-3),把点C(o,—3)代入得:QX1x(—3)=—3,解得a=1,二抛
2、物线解析式为y=(x+1)(兀_3)，即—2x—3,Vy=x2—2x—3=(x—l)2—4,・••顶点D的坐标为(1,-4);G(E左"—」・・・7——JAe—z—e—A—7WJe+f工⑴..•sEH(E—*—EMfl,(-AxE—A—^)d^scrr—逍邑oUE——x——rGOL泪L只托去嗟s8...£哑<艺(寸—二Q^—o)。^良^+i8密価翟回議艮(=)m—he—zxz—ZZHcn—CN—~S小止泪OH9—&—S®®細・••点P坐标为(2,—3);(III)当t=2时，点M的坐标为(2-5),设平移后的抛
3、物线解析式为尸？—2兀一3+%当抛物线尸—2尢一3+加与直线尸一无一3有唯一公共点时,令方程X—2兀一3+m=—x—3,即x2—x~-m=0有两个相等的实数解，则b2—4ac=1—4m=0,解得m=；4若抛物线y=x2-2x~3+m经过点M(2,—5)，贝!]4—4—3+加=—5,解得m=—2;若抛物线)^?-2x-3+m经过点E(—3,0),则9—2x（—3）—3+"尸0，解得加=—12,・••抛物线向上最多平移丄个单位长度,向下最多平移12个单4位长度.2.已知抛物线）=+（兀一3）2—1与兀轴交于A、
4、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.（I）试求点的坐标；（II）连接CD,过原点O作OE±CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长；（III）以（II沖的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作OE的切线，切点为2当PQ的长最小时，求点P的坐标.解：（1）由y=0得y（x—3）2—1=0,解得X1=3—a/2卫=3+V2，又・・•点A在点B的左侧，・・・A点坐标为（3—血,0）0点坐标为（3+血,0）,由抛物线解析式y=
5、(x-3)2-l可得顶点D的坐标为(3-1)
6、;(II)如解图①，过点D作DG丄y轴于点G,设CD与兀轴交于点F，ED交x轴于点M,由题意可得^DCG+ZCOF=90°,ZEOM+ZCOF=90°,・•・ZDCG=ZEOM.又•••ZCGD=ZOME=90°.:.HCDGs'OEM、・CG_DG9~om~~em・•・EM=2,・・・E点坐标为(3,2),・•・OE=a/32+22=V13;(III)如解图②，由(DE的半径为1,由勾股定理得PQ^EP2-!,要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，设P点坐标为(兀,必则PQ=x-3.EQ=2-y.
7、・•・由勾股定理得EPHx—3『+(2—y)[19•••)=亍(兀_3)—1,•••(兀一3)2=2歹+2,・•・E^ly+2+于一4y+4=(y—1尸+5,当尸1时,EP2为最小值,・"点坐标为（1，1）或（5,1）.•・•点P在对称轴右侧的抛物线上,・・・兀2=1舍去,・・・P(5,1).!/CVEM/.0,八乂/〃元G'D图①图②第2题解图1123•已知抛物线尸-沙二牛与*轴交于g两点（点A在点C的左边），直线尸尬+级炉0）分别交x轴,y轴于A.B两点且除了点A之外，该直线与抛物线没有其他任何交点.
8、(1)求人《两点的坐标;(II)求k,b的值;(II)设点P是抛物线上的动点，过点P作直线尸也+风辱0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D求PH+DH的最小值,并求出此时点P的坐标.112解:(I)令y=0,即一—兀?一—x~~—=0,424解得兀］=一3，无2=1，•••点A在点C的左边,••/(—3,0),C(l,0);(II)把A(—3,0)代入y=kx-~b,得一3P+b=0,解得b=3k,1213联立厂—了y=kx+bii3得一才“一3兀+才=也+/?，即x2+(2+Ak)x~3+4Z?=0
9、,•••直线y-kx+b与抛物线有唯一公共点・•・由根的判别式得(2+4貯—4(4b—3)=0,把b=3k代入(2+4k)2-4(4Z?-3)=0,得(2+4k)2—4(12k—3)=0,解得k=,b=3;(III)如解图，过点H作HG丄对称轴于点G，过点P作PF丄对称轴于点F,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,对称轴与X轴交于点M,由题意知，抛物线对称轴为L—1,由(II)知，直
