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《任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x轴上的角的集合。2、特别注意：角度与弧度不要混用。如^+90°^eZ，应写成厂180°+90°伙wZ或k兀七Z3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。单位长：可以是1cm、lm、1km、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系屮，给定单位圆，对于任意角Q,使角Q的顶点与原点重合，始边为x轴正半轴重
2、合，终边与单位圆交于点P（u,v）,则交点P的纵处标v叫作角a的正弦函数，记作v=sina；点P的横坐标u叫作角a的余弦函数，记作u二cosa.通常，用x表示自变量，用x表示角的人小，用y表示函数值，因此丫］『定义任意角的三角函数y=sinx和y=cosx,定义域为R,值域为［-1,1］。/则定义sincr=—,cos6r.更具冇一般性。3、三角函数值的符号根据定义，三饬函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号冇关。sina在一、二象限为正，三、四象限为负；cosa在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。例1功能：会求任意角的三角函数值。其步骤（1
3、）画角；（2）求交点坐标。可联立方fr2+/二1程Q''解得；（3）求值。4、单位圆与周期性CtClC1在单位圆中找到角-,2^+-,4^+-等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）666交点没变；（3）交点的纵、横他标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即从而说明终边和同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值和等。即sin(2Z:^+x)=sinx,keZ.cos(2k/r+x)=cosx,keZ.说明：对于任意一个角x,每增加2龙的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所以，正弦两数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随白变量的
4、变化两数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三角函数特冇的，一燉函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。2龙是y=sinx,xER的周期，则2k兀,kwZ,20都是它的周期,并且它的所有周期中有一个最小的正数2龙,称2龙为它的最小正周期。同理2龙也是y=cosx,xER的最小正周期。有的周期函数没有最小正周期,如/(x)=2,xgR.任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。周期函数的严格定义：一般地，对于函数/(x),如果存在非零常数八对定义域内的任意一个x值，都有f(x4-7)=/(x),则称/(兀)为周期函数,T为它的一个周期。单位圆与
5、诱导公式利用单位圆的对称性:通过观察角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称性，探寻角0C与a土兀,兀一a,6T+-等正、余弦函数关系，得到诱导公式。便于推导,2珂也方便记忆。把用对称找点的处标作为重点。1、角”与的正、余弦两数关系sin(—a)=一sina.cos(—”)=cosa.2、角a^a±7r的」［•：、余弦函数关系P'(x,叨sin(/7+-/T)=-sina.cos(a+龙)二一cosa.sin(a一兀、=一sina.cos(a-兀)=一cosa.3、介a与7i-a的正、余弦函数关系sin(;r-a)=sina.cos(7r-a)=-cosa也可
6、以由1、2两组公式推岀s(7r-a)--sin(a—兀)=-(-sina)=sina.cos(兀-a)=cos(qcosa.jr4、角d与亍询正、余弦函数关系sin(/z+—)=cosa,cos(g+—)=-sina.TT5、角&与——a的正、余弦函数关系2sin(a)=cosa.cos(a)=sina.226、任意介Q的正、余弦函数的诱导公式(1)2k兀+aPi(・")sm(2k7r+a)=sina,cos(2Ztt+a)=cosa.(keZ)(2)~0Csin(-a)=一sina.cos(-a)=cosa.(3)Ik-asin(2^-df)=-sina.cos(
7、2^-a)=cosa(4)7r±asin(;r+a)二一sin/cos(tt+a)=-cosa.sin(^一a)二sina.cos(龙-a)=-cosa.71(5)—i(X2兀兀兀兀sin(—+a)=cosa,cos(—+a)二一sina.sin(——a)=cosa.cos(——a)=sina.4^补:./3龙、z3?r、./3龙、/3龙、sin(—+a)=-cosa.cos(—+a)=sinasin(—-a)=-cosa.cos(—-a)=-sina.2k?i+a、2兀—a、-a.?i±a记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。即它们的正
