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《常微分方程在数学建模中的应用【开题报告】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、毕业设计开题报告信息与计算科学常微分方程在数学建模中的应用一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与实际应用密切相关的基础学科,也是解决问题的重要工具.含有未知量的等式称为方程,它表达了未知量所必须满足的某些条件.微分方程是在近代的变量数学中出现的,以函数为未知量的一种数学方程式,与古典的以数为对象的代数方程式有本质区别.凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.如果未知函数只依赖于一个自变量,就称为常微分方程.如果未知函数依赖两个或更多的自变量,就称为偏微分方程.
2、如果把一个函数代入一个微分方程后,使该微分方程转化为一个恒等式,那么这个函数就称为微分方程的一个解.例如函数便是微分方程的一个解,而也是的一个解.我们把微分方程求解过程叫做解微分方程.对于一阶微分方程含有一个任意常数的解式称为该微分方程的通解.如果方程满足初值条件的解称为特解.方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为这个方程的阶,根据方程的阶可把微分方程分为一阶方程和高阶方程,其中又可分为线性和非线性.在反映客观世界运动过程的量与量之间的关系中,大量存在满足常微分方程关系式的数学模型.数学模型就是将实际现象用数学语言描述出来的结果.这里的
3、描述不仅包括外在形态,内在机制的描述,也包括预测,试验和解释实际现象等内容.我们建立数学模型的过程,就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.主要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.数学方法在传染病方面的应用可追溯到1760年,而传染病动力学的常微分方程SIR模型的提出便是在1979年,该模型考虑3类个体:正常可被感染者;患病者;已恢复且具有免疫力者.该模型的假设条件分别为,条件一:人群分为易感者、患者和病
4、愈免疫移出者;条件二:个体获得免疫是永久的,这意味着假若某个个体获得免疫,他们将永远不会再感染.这种模型适合于滤过性霉菌引起的流行病,如麻疹、天花、腮腺炎等;条件三:易感人群的减少速度与易感人群和被感染者数量的乘积呈正比.条件四:恢复者的增长速度与被感染者的数量成正比.后来在SIR模型考虑3类个体的基础上,增加了1类个体:已感染但处于潜伏期未发病者.上述4类个体及描述其相互关系的常微分方程组构成新的传染病动力学模型:SEIR模型.近几年,人们用数学方法来研究传染病的发病机理、动态过程和发展趋势,已逐步成为一个活跃的研究领域.在国外,数学预测
5、模型已经能够成功地应用于生物分子水平,模拟体内病毒的复制及半衰期,让我们更加全面地认识并了解了传染病的感染机制.而我们的国内学者吴开琛等也成功的把该模型应用于非典型肺炎(SARS)的研究,并在此基础上提出5分室模型,即:SEIDR,其中的D(death)为人群中感染发病者不治死亡的.本文是利用SIR模型来研究传染病问题的,由于传染病流行过程的研究与其他学科有所不同,不能通过在人群中实验的方式来获得数据,所以有关传染病的数据、资料只能从已有的传染病流行的报告中获取,这些数据往往不够全面,难以根据这些数据来准确地确定参数,只能大概估计其范围.这
6、次论文主要是通过全面调查、收集相关的数据资料,有效应用常微分方程和数学建模的相关知识,并充分利用图书馆和互联网上的丰富的资源来建立SIR模型,在对建立好的数学模型进行定量和定性的分析与探究的过程中,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,对当今社会中经常爆发的传染病建立常微分方程模型并利用常微分方程和数学建模的相关知识对它分别进行分析和研究,探讨了它的传播规律以及影响它们流行的因素、预测可能发生的后果及如何抑制其流行或恶化.这个模型的建立及探究说明了在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中,大量存在了满足常微分方程
7、关系式的模型,需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质,常微分方程是解决实际问题的重要工具.所建立的模型,在常微分方程的观点剖析下,充分展现现代社会生活中常微分方程应用.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题研究的基本内容：利用常微分方程与数学建模的知识建立SIR模型解决的主要问题：1对建好的SIR模型进行定量和定性的分析2探讨传染病传播的规律以及影响它流行的因素3预测可能发生的后果以及如何抑制其流行或恶化三、研究步骤、方法及措施一．研究步骤：1．查阅相关资料,做好笔记;2．仔细阅读研究文献资料;3．在老师指导下,确定整个论文的思路,列
8、出论文提纲,撰写开题报告;4．翻译英文资料;5．开题报告通过后,撰写毕业论文;6．上交论文初稿;7．反复修改论文,修改英文翻译,撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施：通过到
