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《专题突破练(五)-解析几何综合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题突破练(五)解析几何综合1.(2017-淄博模拟)椭圆C：手+話=l(Qb>0)的离心率为扌，其左焦点到点P(2,l)的距离为QTd(1)求椭圆c的标准方程.(2)若直线人y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点)，且以为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.解析:(1)因为左焦点(一c,0)到点P(2,l)的距离为帧，所以寸(2+c)?+1解得c=1.c1又e=~^=2f解得a=2,所以b2=a2—c1=3.22所以所求椭圆C的方程为于+牙=1.(2)证明：设A(xhyi),B(兀2,力),y=kx+m,消去y得(3+4疋)/+smkx+4
2、(/-3)=0,A=64mV-16(3+40(/—3)>0,化为3+4以>屏.〜1—8mk4(/722—3)3(加2—4疋)3+4疋所以兀1十兀2=3+4心兀1兀2=3+4以•y1『2=(也1+m)(kx2+m)=ICxX2+mk{x+也)+加2=因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0),kAD-kBD=一1,所以恙•总=—1,所以y1^2+a：iX2—2(%1+兀2)+4=0,所y+晋+號+T化为7肿+16加:+4疋=0,2k解得m=—2k,加2=—〒・且满足3+4泾一血2>0・当m=_2k时，/:y=k(x-2直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m=—y时，/:直线过定点(壬0
3、,综上可知，直线/过定点#,0).1.已知点Fi(0,一羽),F2(0,萌)，曲线厂上任意一点P满足
4、PFi
5、+
6、PF2
7、=4,抛物线x1=2py(p>0).(1)若抛物线的焦点在曲线厂上，求曲线厂的标准方程和抛物线的标准方程；(2)设抛物线的焦点是彳0,寸，在抛物线上是否存在点M,使得以点M为切点的切线与曲线厂相交于A,B两点,且以AB为直径的圆过坐标原点O?若存在,求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解析：⑴因^
8、PFi
9、+
10、PF2
11、=4>
12、FiF2
13、,所以P的轨迹是以4为长轴长，2萌为焦距的椭圆,标准方程是：才+/=].又抛物线焦点在y轴的正半轴上，所以焦点F(0,2),所以兀$=8y
14、.(2)由题意可得抛物线方程：P=2y.假设存在点M,设坐标为(d,由得W=x,.、10所以切线方程：y—另T=d(x—a),19即：y=ax—^cT.2殳A（xi,>'i）,B（x2f力），17y=ax—~^crrcal,由］2,得（矿+4）兀2—/北+玄屮一4=0,j2+4x2=4/=/_4（/+4）（討_4）=_4（/一牝2一16）（*）,由根与系数的关系,得:护-4宀16"
15、也=了百=4（/+4）'由题意可得：OA-OB=0,即：X[X2+yy2=0,_(1+/)(/—]6)_/4=—4(/+4)—一2(/+4)十忑5/—16/—16=4(/+4)=@解得：/=4,带入殆式，得：/
16、>0,综上，存在点M(±2,2)・1.已知曲线厂上的点到点F(0,l)的距离比它到直线〉=—3的距离小2.(1)求曲线厂的方程；(2)曲线厂在点P处的切线/与x轴交于点A,直线y=3分别与直线/及y轴交于点M,N.以为直径作圆C,过点4作圆C的切线，切点为B试探究：当点P在曲线厂上运动(点P与原点不重合)时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.解析：(1)设SO,y)为曲线厂上任意一点，依题意，点S到F(0,l)的距离与它到直线y=-的距离相等，所以曲线厂是以点F(0,1)为焦点、直线y=-l为准线的抛物线,所以曲线厂的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线厂上运动时，线段43的长度不变.
17、证明如下：由⑴知抛物线厂的方程为y=g,设P(x<),为)(兀0工0),则为=由所以切线/的方程为y—），0=*兀0（兀一兀°）,1）?=0得A&o,0丿ly=3得又N（o,3）,所以圆心半径r=^MN=
18、%o+~AB=y[AC^?=寸陽_（£+誹+32—伽+新=萌・所以点P在曲线厂上运动时，线段AB的长度不变.1.已知椭圆C：十+器=l（d>b>0）的长轴长为圆x2+y2=4的直径，离心率为申,右焦点为F,⑴求椭圆C的方程；⑵直线/与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线I与直线x=2交于点力，直线/与直线兀=一2交于点B,试证明直线AFA.BF.解析：（1）2g=4,
19、即g=2,£=：=2，所以c=书,b=y]a2—c2=l9所以椭圆方程为:才+于=1・（2）证明：当/的斜率为0时，ZAFB为直角,则ZAFB为定值务当斜率不为0时，设切点为P（xo,yo）,则/:竽+yyo=l,1—“1+色“21十2所以A—2,——,B_2,―—>0>0（2—羽）（―2—羽）为一）名=-1,所以直线AF丄BF.
