专题4中考数学三角形存在性

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1、例7如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数尸务的图象交于点A,且与x轴交于点B.(1)求点人和点B的坐标；(2)过点人作AC丄y轴于点C,过点B作直线/〃y轴.动点P从点011!发，以每秒1个单位长的速度，沿0-C-A的路线向点&运动；同时直线/从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程屮，直线/交x轴于点R,交线段或线段40于点Q.当点P到达点A时，点P和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的吋间为r秒.①当r为何值吋，以&、p、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以人、p、Q为

2、顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由.(1)根据题意，得y=-x+7x=3令y=-x+7=0,得x=7・AB(7,0).(2)①当P在OC上运动时，由S^APR二S梯形COBA-^^ACP-^^POR~S^ARB=^»得2(3+7)X4—X3X(4-r)--t(7~t)-歹X4二8整理，得孑-就+12二0,解之得n=2,"6(舍)当P在C4上运动，4Wt<7.由S^apr~㊁X(7-t)X4=8,得t=3(舍)・・・当02时,以A、P、/?为顶点的三角形的面积为8.②

3、当p在oc上运动时，oWr<4.:.AP=I(4-f)2+32,AQ=y[2t,PQ=7-t当AP=AQ时，(4-t)2+32=2(4-t)整理得，F-8r+7二0.・・・r二1,t=7(舍)当AP=PQ吋，(4-t)2+3=(7-t)整理得，6性24.・気二4(舍去)当AQ二PQ时,2(4-t)2=(7-t)2整理得,tz-2t-17=0・・・t=l±3迈(舍)当P在C&上运动时，4WtV7.过人作AD1OB于D,则AD二BD二4.设直线/交AC于E,则QE丄AC,AE=RD=t~4fA

4、P=7~t.由cosNOAC二—=—,得AQ=~(t-4).54i当AP=AQ时，7-t=§"-4),解得t=—当AQ二PQ时，AE=PE,即AE=}:AP得t-4=

5、(7-t),解得r二5.当AP=PQ时，过P作PF丄AQ于F115/八AF=-AQ=-X-(t~A).AF33在RtHAPF中，由cosZPAF==得AF=~APAP□5ai15Z3/、心e226即㊁X§(「4)二(7-广)，解得t二肓.・：综上所述，t=l或辛或5或詈时，△//似是等腰三角形.14例2如图,在平面肓:角坐标系x

6、oy中拋物线一软一10与x轴的交点为点lo9过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结&C.现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相交于点0过点D作DE〃OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F.设动点移动的吋间为r(单位:秒)⑴求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；⑵当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程；9⑶当0

7、QF的面积是否总为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当r为何值时上PQF为等腰三角形?请写出解答过程.解：(i)y=—(x2-8x-180),<>y=0Wx2-8x-180=0,(x-18)(x+10)=018兀=18或兀=一10・：A(l&0)；1。4由于BC〃OA,故点C的纵坐标为一10,由一10=—%2一一兀一10得兀=8或兀=018998即C(8,—10)且易求出顶点坐标为(4,-y)98于是，A(l&0),B(0,—10),C(&-10),顶点坐标为(4,-y)0(2)

8、若以边形PQCA为平行四边形，由于QC〃PA。故只要QOPA即可，而1QPA=}8-4t.CQ=故18-4r=r得r=一；(3)设点P运动/秒，则OP=4t,CQ=f,0v/v4.5,说明P在线段0A±,且不与点OA、重合，由于QC〃OP知厶QDC^APDO,^―=-=—=-DPOP4/4・・.AF=4t=OP:.PF=PA^-AF=PA+OP=1S又点Q到直线PF的距离〃二10,・・・S&QF=丄PFd=丄xl8xl0=90,于是APOF的面积总为90。(4)由上知,P(4r,0),F(18+

9、4r,0),e(8-r,-10),0v/v4.5。构造直角三角形后易得pg2=(4r-8+z)2+102=(5r-8)2+100,F(f=(18+4—8+02+1()2=(5^+10)2+100①若fp=pq,即18?=(5—8)2+100,故25(^+2)2=224,2244>/14.4帀小—=2T2W/+2W6.5f+2=②若qp=qf,即(5—8)2+100=(5Z+10)2+100,无0W/W4.5的r满足条件;①若PQ=PF,即(5—8)2+100=182，得(&一8)=26<0都不满