中考数学压轴题专项汇编专题22直角三角形的存在性

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1、专题22直角三角形的存在性破解策略以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）．解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角

2、，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！例题讲解例1如图，抛物线l：y＝ax2＋2x－3与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）．所以抛物线表达式可变为y＝a（x－3）（x＋1

3、）＝ax2－2ax－3a由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．（2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N．若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN．所以PM＝BN．设点P的坐标为（m，H，－m2＋2m＋3）．则PM＝

4、m＋3

5、，BN＝

6、－m2＋2m＋3

7、，所以

8、m＋3

9、＝

10、－m2＋2m＋3

11、．解得m1＝0，m2＝1，m3＝，m4＝所以点P的坐标为（0，3），（

12、1，4），（，），（，）例2如图，一次函数y＝－2x＋10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴．y轴于点E，F．若点A的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P．使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k＝8，所以反比例函数为y＝，联立方程纽组，解得，所以点B的坐标为（1，8）．由题意可得点E．F的坐标分剐为（5，0），（0，10），以AB

13、为直角迎的直角三角形有两种情况：如图1，当∠PAB＝90°时，连结OA，则OA＝＝．而AE＝＝，OE＝5，所以OA2＋AE2＝OE2，即OA⊥AB．所以A，O，P三点共线．由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为y＝x．联立方程组解得，所以点P的坐标为（－4，－2）．②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．易证△FBC∽△FOE，所以，而FO＝10．FE＝，FB＝＝可求得FG＝，所以点G的坐标为（0，）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式为y＝x＋，联立方程组解得所以点P的坐标为（－16，－

14、）；综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－）．例3如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．解由题意可得点A（－1，0），P（2，－5），B（5，0）．设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m－2，5），E的坐标

15、为（2m－5，0），所以PQ2＝（2m－4）2＋102，PE2＝（2m－7）2＋52，EQ2＝32＋52＝34．△PQE为直角三角形有三种情况：①当∠PQE＝90°时，有PE2＝PQ2＋EQ2，即（2m－7）2＋52＝（2m－4）2＋102＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；②当∠QEP＝90°时，有PQ2＝PE2＋EQ2，即（2m－4）2＋102＝（2m－7）2＋52＋34，解得m＝－，所以点Q的坐标为（－，5）；③当∠QPE＝90°时，有EQ2＝PE2＋PQ2，即（2m－7）2＋52＋（2m－4

16、）2＋102＝34，方程无解，所以此种情况不成立，综上可得，当△PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（－，5）或（－，5）．例4如图．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，当BE＝2时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EF