中考数学压轴题专项汇编专题24特殊平行四边形的存在性

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1、专题24特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题．例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形．令ax2－

2、2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）．因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1．①若AC是矩形的一条边，如图，则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）．同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）．因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，解得，此时点P的坐标为（1，）②若AC是矩形的一条对角线，如图．则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）．同样yA＋yC＝yP＋yQ

3、，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）．因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，算得，所以此时点P的坐标为（1，－4）综上可得，以点A，C，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）菱形ABCD的边长是_____，面积是_____，高BE的长是_____;（2）若点P的速度为每秒1个单位

4、．点Q的速度为每秒k个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ为等腰三角形即可．当t＝4时，AP＝4．①如图，当点Q在线段BC上时，PQ≥BE＞AP，同理，AQ＞AP，所以只存在QA＝QP的等腰三角形．过点Q作QH⊥AP于点H，交AC于点F，则AH＝PH＝AP＝2易证：△AFH∽△C

5、FQ∽△ADO，所以可得从而k＝②当Q在BA上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i）如图1，当AP＝AQ时，此时点P，Q关于x轴对称，BQ＝PD＝1所以，k＝（ⅱ）如图3，当PA＝PQ时，过点P作PH⊥AB于点H．易证△AHP∽△AEB，所以，其中AE＝所以AH＝，AQ＝2AH＝，所以k＝．（ⅲ）由①可得，AP的垂直平分线与BC相交，所以点Q在线段AB上时，不存在AQ＝PQ这种情况．综上所得，满足条件的k值为，，．例3如图，二次函数的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．问：是否存在抛物线使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式

6、；若不存在，请说明理由．解：存在易得AMBM’是菱彤，所以当AB＝MM′时，四边彤AMBM′是正方形设点A的坐标为（x1，0），B的坐标为（x2，0）．令所以x1＋x2＝2，x1·x2＝2c所以AB＝＝点M的纵坐标为若四边形AMBM’为正方形，则有．解得又因为已知抛物线与x轴有两个交点，所以解得c＜，所以c的值为．所以存在抛物线，使得四边彤AMBM'为正方形．进阶训练1．已知抛物线C1：y＝－2x2＋8x－6与抛物线C关于原点对称，抛物线C2与x轴分别交于点A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧）顶点为N．（1）

7、求抛物线C2的表达式；（2）若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动，此时记A，B，C，D，M，N在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t（秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C2的表达式为（2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C'N'B'M'为平行四边形．所以当∠B'M'C'＝90 或B'C'＝M'N'时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t．2．如图