中考数学压轴题专项汇编专题23平行四边形的存在性

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1、专题23平行四边形的存在性破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有：①_x0001_作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D，E，F．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．②倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线

2、相等，得点D，E，F，连结DE，EF，FD．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图，若AB∥CD且AB＝CD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平行线A

3、E，DF，则△AEB≌△DFC，从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．如图．已知平行四边形ABCD．连结AC，BD交于点O．设顶点坐标为A（xA，yA）．B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）．①_x0001_用平移的性质求未知点的坐标：②利用中点坐标公式求未知点的坐标：有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．例题讲解例1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，﹣3），P是直线AB上的一个

4、动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式；（2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得y＝x2－2x＋3．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入，得y＝x－3．（2）存在．因为PM∥OB，所以当PM＝OB时，四边形即为平行四边形．根据题意设点P的坐标为（p，p－3），则点M的坐标为（p，p2－2p－3）．所以．解得，故满足条件的点P的横

5、坐标为．例2边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，连结CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于点G．易证△ODC≌△GED（AAS），所以．所以点E的坐标为（3，1）．而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表

6、达式为x＝2，所以可设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋k，将C，E两点的坐标代入表达式，得解得所以抛物线的表达式为（2）存在．由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为．以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：①当DE为平行四边形的边时，（i）如图2，若DE∥MN，MD∥NE，由平移的性质可得解得此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）．（ii）如图3，若DE∥MN，ME∥ND．由平移的性质可得解得此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）．②当DE为平行四边形的对角线时，如图4．由平

7、行四边形对角线互相平分性质可得解得此时点M的坐标为，N的坐标为例3如图，抛物线的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得（2）存在．令所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．由点F在抛物线上可设点F的坐标为．方法一：①如图1、图2

8、，当AC为平行四边形的边是，图1图2过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．易证△PEF≌△OCA．所以PF＝AO＝3，从而点F的坐标为（2，5）或（－4，5）．②如图3，当AC为平行四边形的对角线时，过点F作FP⊥y轴于点P．令抛物线的对称轴交x轴于点Q，易证△PCF≌△QEA．所以PF＝AQ＝2，从而点F的坐