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《专题25+实际问题中的解三角形问题-备战2019年高考高三数学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、【备战2019年高考高三数学一轮热点.难点一瑚丁尽】专题25实际问题中的解三角形问题考纲要求：1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量利几何计算有关的实际问题.2•研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.基础知识回顾：1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目
2、标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图@））・1视线11北董閔1水平线PH线1南、B图（曰）图3)2.方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如$点的方位角为a（如图（方））.3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）XX度.4.absinAsinB齐=2E其中斤是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)abc=sinA:sinBIsinC；(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.5.余弦定理：a=l)+c~2
3、bccosA91)=a+c~2accosB,c=a+l)—2abcosC.i2i222」2.22Ii22务b—aa—ba+Z?~clab变形：cosA=—,cosB=—,cosC=6•在中，已知禺方和S解三角形时，解的情况力为锐角A为钝角或直角图形丄LAA3「•…・空c4、、—BcCNA^'BacB关系式ab解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式⑴5=-a・九（九表示a边上的高）•(2)S=^absinC=^acsinB=^bcsinA=a
4、bc百・(3)5=
5、r(a+Z>+c)Cr为内切圆半径).应用举例：类型一、测量高度问题【例1】【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直），在山脚A处测得塔尖C的仰角为仅，沿倾斜角为0的山坡向上前进/米后到达B处，测得C的仰角为0.(2)若/=24,q=45,0=75,&=30,求信号塔CD的高度.【答案】⑴BC=廻一牛⑵24-8^.sin(/?-cr)【解析】分析：（1）在aZBC中，ZCAB=a-0?ZABC=,ZACB=/3-a,由正弦定理可得
6、BC=sin(o:_0)sid(/?—a)h（2）结合（1）,在三角形BDC中，利用正弦定理化简求解即可.详解：(1)在^ABC中，ZCAB=a-e?么BC=;r—(0—0),ZACB=/3-a•由正弦定理,BC=sin(a—siD(yS-£Z)（2）由（1）及条件知，BC==12(^6-J2,ZBCD=90。一目=15。,sin(Q—a)l'ZCBQ=0—0=45。,ZJBDC=12Q°・由正弦定理得CD=^m45°BC=24-^sin120°点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题•正弦定
7、理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.【例2】要测量电视塔月〃的高度，在Q点测得塔顶畀的仰角是45°,在〃点测得塔顶〃的仰角是30°,并测得水平面上的Z〃Q=120°,62=40m,求电视塔的高度.【答案】1裁【解析】如图，设电视塔肋高为//〃，则在RtHABC中,由ZACB=45°得BC=x,在Rt/XADB屮，ZADB=30°
8、,则BD=£x.在△劭C中，由余弦定理得，B/=BC+CE—2BC•CD・cos120°,即（r[3x）2=x+402—2•x•40・cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40/〃.点评：求解高度问题应注意的3个问题（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键.（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间團形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.（3）注意山或塔垂直于地面或海
9、平面，把空间问题转化为平面问题•类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有：（1）两点都不可到达；（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达.【例3】【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试】如图，力/«三个警亭有直道相通，已知力在B的
