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《七年级数学下册31多项式的因式分解《因式分解》典型例题素材（新版）湘教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、《因式分解》典型例题、基础思维探究题型一：多项式的因式分解典例1下列因式分解中，结果正确的是()A.x2-4=U+2)(x-2)B.1—(兀一2)2=(兀+1)(兀+3)C.2m2n-8n},=2n(m2-4/?2)D.x1-x--丄=〒(］一丄+^^_)4x4兀▼【研析】A项正确运用平方差公式分解；B项将x-2看成一个整体用平方差公式分解为(x-1)(3-%)；C项分解不彻底，m2-4/22还能继续分解；D项分解结果不是几个整式积的形式，所以选择A.【技巧点拔】注意到因式分解的概念，并且因式分解要分解到不
2、能再分解为止.典例2填空:分解因式：/-2°给+必2=.【研析】按照因式分解的步骤，本题首先要提取公因式然后考虑用完全平方公式分解.解:/一2a2b+ab2=a(a2一2ab+b2)=a(a-b)2【归纳总结】一般来说，多项式如果含有公因式，那么首先提公因式，然后再考虑运用公式或其他方法.题型二：生产中的实际应用典例3在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R二85cm,r=15cm时剩余部分的面枳(结果用；T表示).【研析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的
3、面积，在运算过程中，利用因式分解有吋可以使运算简化.解：剩余部分的面积为：7rR2-47ir2=7T(R2-4r2)=%(/?+2r)(/?一2r)=兀(85+2x7.5)(85—2x7.5)二乃x100x70=7000龙(cm2).【观察思考】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便，迅速.题型三：化简求值典例4已知a二丄兀+20,b二丄x+19,c二丄兀+21,那么代数式/+戸+c2-ab-be-ac202020的值是A.4B.3C.2D・1【研析】因本题所求代数式中含有
4、a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.解：原式二*(d-b)2+(b-C)2+(d-C)2]当a=-!-尢+20,b二丄兀+19,c二丄兀+21日寸,有：a—b=l,b—c=—2,a—c=—1,202020'11・・・原式二一『+(—2)2+(-1)打=_(1+4+1)=3・故应选B.22【品思感悟】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.题型四：证明不等式典例5设a、b、c是三角形的三边长，求iiE:a2-b2-c2
5、-2bc<0.【研析】本题是证明一个不等问题，想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明.证明：*.*a2-b2-c2-2bc=a2一(b+c)?二(a+b+c)(d-方一c),又・・・q、b、c是三角形的三边长，.•.a+b+c>0,avb+c,即(a+b+c)(a一b-c)v0,•*.ci~——c~—2bcv0.【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.二、综合思维探究题型一：学科内综合题典例6已知x2+x-1=0,求疋+2x2+3的值.
6、【研析】本题要充分利用“/+”—1=0”这个条件，经过变式來求值•这里可将2/拆成两项，变为(x2+x2),再添加(x-x).解：TX?+兀-1=(),/•兀'+2无~+3=(兀"+x~—兀)+(x~+无+3)=x(^x~+兀一1)+(x~+兀一1+4)—4.【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.典例7已知248-1可以被在60到70Z间的两个数整除，则它们是()A.61、63B.61、65C.63、65D.63、67【研析】由248-1联想到运用平方差公式进
7、行因式分解，从而做出判断.因为248-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(2"+1)(212-1)=(224+1)(2,2+1)(26+1)(26一1)=(224+1)(2,2+1)(26+1)(23+1)(23-1),而(26+1)=65,(23+1)(23-1)=9X7=63,所以选择C.【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量•从而体现公式方便快捷.题型二：学科间渗透题典例8如图所示，把三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I,电压为V,则V=//?,+IR2+IR3,当&=
8、34.9,R2=20.8,R3=32.3,1=2.5时，求V的值.尺2R、【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中，可减少运算量,使运算简化.解：当R}=34.9,7?2=20.8,7?3=32.3,1=2.5时，V=只+IR2+IR3二HR1+R2+R3)=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压Z和，构造数学模型,运用因式分解
