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时间:2018-11-24
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1、因式分解典型例题 例1多项式x2+ax+b因式分解为(x+1)(x-2),求a+b的值.分析根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形,而恒等式中的对应项系数是相等的,从而可以求出a和b,于是问题便得到解决.解 由题意得:x2+ax+b=(x+1)(x-2),所以x2+ax+b=x2-x-2,从而得出a=-1,b=-2,所以a+b=(-1)+(-2)=-3.点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法.例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab.分析 此多项式的各项都有因式2ab,提取
2、2ab即可.解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1).点评 用“提公因式法”分解因式,操作时应注意这样几个问题:首先,所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积,即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式,否则达不到因式分解的要求;其次,用“提公因式法”分解因式,所得结果应是:最高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积.如果原多项式中的某一项恰是最高公因式,则商式为1,这个1千万不能丢掉.本例题中,各项的公因式有2,a,b,2a,2b,ab,2ab等.其中2ab是它
3、们的最高公因式,故提取2ab.作为因式分解后的一个因式,另一个因式则是分别用6a2b,4ab2和-2ab除以2ab所得的商式代数和,其中-2ab÷2ab=-1,这个-1不能丢.例3 因式分解m(x+y)+n(x+y)-x-y.分析 将-x-y变形为-(x+y),于是多项式中各项都有公因式x+y,提取x+y即可.解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)=(x+y)(m+n-1).点评 注意添、去括号法则.例4 因式分解64x6-1.分析 64x6可变形为(8x3)2,或变形
4、为(4x2)3,而1既可看作12,也可看作13,这样,本题可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分解.解 方法一64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1
5、)(4x2-2x+1)点评 在分解因式时,尽管采用的方法不同,但结果应是相同的.本题的两种解法,显然第一种方法比较简单.点评 分解因式时,应首先考虑各项有没有公因式,如果有公因式,一定先提公因式,然后再考虑能否用其它方法继续分解.本题如果先提2,应如何分解?例6 因式分解(x+y)2-6(x+y)+9.分析 可将x+y当作一个整体,此多项式便是关于这个整体的二次三项式,显然它可用完全平方公式分解.解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2.点评 在运用公式分解
6、因式时,一定要掌握公式的特点,尤其要注意完全平方公式中一次项系数的特点.例7 因式分解x2+6x-7.分析 这个二次三项不符合完全平方公式的特点,首先,二次项与常数项不同号,其次,常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方,所以不能直接用公式分解,但经过适当的变形后,便可用公式分解.另外,这样的二次三项式可用十字相乘法分解.解 方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)点评 方法一叫配方法.用配方
7、法分解二次三项式时,其前提是二次项系数为1(如果二次项系数不是1,则提取这个系数,使二次项系数转化为1);其关键是,加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方,这样便达到配方的目的.在用十字相乘法分解二次三项式时,主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项.例8 因式分解3x2-7x-6.分析 本题二次项系数不是1,如果用配方法分解,则应首先提取二次项系数3,然后再加、减一次项系数一半的平方;如果用十字相乘法分解,既要考虑好首尾两项的分解,更要考虑到十字相乘后的代数和应是中间项(即一次项).解 方法一方法二 3x
8、2-7x-6=(3x+2)(x-3).点评 用十字相乘法分解因式,在排列算式时,应想到同行不应有公因式(如本题二次项所分出的3x与常数项所分出的3不能放在同行,只能与分解出的另一个因式2放在同行)这是因为,如果同行有公因式,此公因式在开始分解时就应提出.掌握这一点会简化操作过程.从上述两例可以明显看出,在有理数范围内分解二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法比较方便,但随着数的范围的扩大,就看出配方
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