微分差分方程习题

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1、微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题J/=y-excos%,b(o)=i(1)用四阶Runge-Kutta法求解微分方程初值问题的数值解(步长力取0.1),求解范围为区间[0,3]・(2)用odc45方法常微分方程初值问题的数值解(近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异.解(1)代码clearf=sym(1y-exp(x)cos(x)1);a=0;b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+l;%n=(b-a)/h;x=0;y=l;szj=[x,y]；fori=l:n-1%i=l:nll

2、=subs(f,{'x','y'},{x,y});12=subs(f,{zy}/{x+h/2zy+llh/2});13=subs(f,{1x1,1y1}/{x+h/2,y+12h/2});14=subs(fz{'x'z'y'}/{x+h,y+13h});y=y+h(11+212+213+14)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y]；endplot(szj(:,1),szj(:,2),1dg-')；1816141210°00.52.53.5(2)代码fun=inline(1y-exp(x)cos(

3、x)1,1x1,1y1);[x,y]=ode45(fun,[Oz3],1)两个图放在一起比较如下:结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看岀，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。二、设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设t吋刻(单位为分钟)容器中每升盐水中所

4、含净盐的百分比为x(t),考虑I］寸间区间［"+△/］,并利用质量守恒定律;［/,/4-A/］内容器中净盐量的变化等于注入清水所含的净盐量减去放出盐水中的净盐量。用数学公式表示岀来就是：(V+/++Ar)—(V+t)x(t)=—JKx(s)dsx(0)二x0于是，令A/tO,得：t>0dxK+l=兀

5、(t=60)后容器中的盐水中含有的净盐为：(100+60)x(60)二1(T5(100+60厂(-2)二3.90625千克所以1小时后容器里的盐水屮还含有3.90625千克净盐。三.早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型(空=其中入为常数)，(1)dt求肿瘤的增倍时间根据统计资料，一般有。e(7,465)(单位为天)，肺部恶性肿瘤的增倍吋间大多大于70天而小于465天(发展太快与太慢般都不是恶性肿瘤)，故。是确定肿瘤性质的重要参数Z—(2)为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用

6、来预测病人肿瘤直径增大速度的公式D=D()2^.(3)正常人身上也有癌细胞,一个癌细胞直径约为10uin,重约0.001Ug.,当患者被查岀患有癌症吋，通常直径已有lcm以上(即已增大1000倍)，由此容易算出癌细胞转入活动期已有30。天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体乂吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案(医生认为当体内癌细胞数小于1(/个吋即可凭借

7、体内免疫系统杀灭。解：(1)—=AVdtv=/C（其中c为常数）当t=0时V=V0v=/v（）当V=2Vo时o=ln2/入(2)V二l/6nD‘dV~dt=AV2D2dDdt=AD3dDADdt_Vo=ln2/入3AdDln2Ddt因为当t二0时D=D0D=D()23(7(1)假设，不考虑每次放射性射线杀死的免疫细胞从而影响人体免疫系统功能的前提下，有一位癌症病人的癌细胞的直径为lcm,此癌症病人的体内含有的癌细胞的含量为IO。个，现在医院要对病人进行治疗，打算用17/2o天使癌症病人的体内的癌细胞数

8、目从原来的10°个减少到体内免疫细胞可杀死的水平，每两次放射性治疗的时间间隔为1/2®决定用9次级放射性治疗来使病人的癌细胞得到控制，为达到此冃的每次治疗要用射线治疗的射线强度为杀死癌细胞的x所需的射线量。根据假设条件，编写matlfb程序clear;clc;forx=l:900000k=1000000-x;fori=l:9k二sqrt(2)k-x;endifk<=100000breakendendxx=301006得出结论，病人每隔l/2c天进行一次放