复变函数练习题习题14

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1、习题1.45.求下列函数的极限，其中ZTO.(1)/；(z)=zRe(z)/

2、z

3、解：因为

4、=lim

5、Re⑵

6、=0ztOkllim

7、/；(z)^lim

8、zRe(Z)ztO1ztO所以由教材1.4节的定理1知吧£⑵=0另解：设z=x+兀』WR)，贝

9、JzRe(z)lz

10、(x+iy)x/x2+y2因为所以由夹边法则得<

11、x

12、,0<可二0257^+/^aP+7所以+ilimx—>0yTOlim/；(z)=UmyTO^==0+0=02■1=0,lim—=0,lim.-*锻閉厂注i：极限存在是对趋向于极限点的任意路径极限都存在，不能仅对特殊路径证明，所以不能设y=kx^0来证明极限存在!注2：设z=/

13、(cos&+isin&)，则ztOz—>0p=limzcos&=0?ztO此处&与Z有关，不能直接得到极限，需要进一步将z=NCOS&+Zsin&)带入再求极限.(1)/(z)=Re(z)/

14、z

15、解：z=x+iy(x,jeR),当z沿任意射线丿=也(兀＞0)趋向零时有2=兀+沅ttO,这时有Re(z)_兀_1〉］2⑵Jr如271+jt2Vi+F极限与氐有关，即与路径有关，所以当ZT0时，厶(z)=Re(z)/1zI的极限不存在.另解：设z=r(cos+1sin0)(r,eR),当z沿任意射线&=4趋向零时有z=r(cos^+isin^)tO即厂T0,这时有/2(z)=Re(Z)-rC0S^=C

16、OS%Tcosqzr极限与％有关，即与路径有关，所以当ZT0时,厶(z)=Re(z)/1zI的极限不存在.(1)厶⑵二Re(z)/(l+z)解:Re⑵1+zlimRe(z)ztOlim(l+z)ztO16.设/⑵在点知连续且/(Zo)^O,试证明存在Zo的一个邻域使在该邻域内恒有/(z)H0.证明：因为/匕)在点知连续，由连续定义知Vw>0,»(£)>0,当

17、z-z°

18、<5时，有l/U)-/U0)l<£.因为他0)工0,可取£=1/(知)

19、>0,则存在4=》(1/(知)1)>0,对于知的邻域{z：

20、z-z0

21、<^}中任意一点z,有l/(z)-/(z0)l

22、/(知)10/⑵-/(z0)I,则对于上述邻域中的Z,有ll/(z)

23、-

24、/(z0)

25、

26、<

27、/(z0)

28、nT/(知)KI/⑵I-1/(z°)KI/(知)丨^0<

29、/(z)K2

30、/(z0)

31、这表明存在知的邻域，使在该邻域内l/(z)l恒正，即在该邻域内恒有/(Z)丰0.注：复数不能比较大小，所以出现Z>0,Z>Z。，/(z)-/(zo)<£,/(z)-/(知)>-£等等是极其错误的.