5、用矩阵求逆解法,即X=A~lb;(3)利用gauss消去法；(4)利用LU分解法求解.一般来说，对于维数不高、条件数不大的矩阵，上面4种解法所得的结果差别不大•前两种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算•而Gauss消去法，其本质上利用LU分解，在MATLAB屮，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆矩阵的计算大都在LU分解的基础上进行•因此，在MATLAB中，求解这类方程组吋可直接采用表达式：X=Ab・(LU分解)若阶矩阵A可逆且顺序主子式不为零，则A可以分解为一个单位下三角阵厶和一个上三角阵U的积A=LU^并
6、且这种分解是唯一的•由于AX=LUX=b记t/X=Z,贝从而由厶Z=b求得Z=Lb,再由UX=Z求乂=UZ,X=U(Lb)MATLAB中，用[L,U]=lu{A)函数求得L,U,再用X=U(Lb)求得解.如果矩阵A是对称正定矩阵，可采用Cholesky分解法，矩阵Cholesky分解定理为：如果A是对称止定矩阵，则(至少)存在一个实的下三角矩阵厶使得A二Lli此外，我们可以限定矩阵厶的对角元素全部为正，那么，对应的分解A=LIJ是唯一的.在MATLAB中，用厶=chol{A)函数求得厶，再用X=L(Lb)求
7、得解.Guass法(LU分解)Wcholesky法的基础都是把线性方程组的矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，但对于对称正定矩阵的情形，cholesky比Gauss法更加简便.我们也口J以使用Householder法则把矩阵分解为正交矩阵0和上三角矩阵的乘积，称为0?因子分解法.给定斤阶矩阵A,则存在一个酉矩阵0,以及一个上三角矩阵R，使得A=此外，我们可以设法使矩阵R的对角元素都为正•如果A是可逆的，则这时所对应的分解A=QR是唯一的•在MATLAB中，用[Q,R]=qr(A)函数求得Q,R，再用X=R(Qb)求
8、得解.线性方程组的最小二乘解线性最小二乘问题的解法在数据拟合、测量平差、控制理论等方面均得到广泛的应用。例如，已知〃对数据（GX）（其中心1,2,...,肌）和“个已知函数勺⑴（其中XI,2,…，”）试构造线性组合用该线性组合最佳地拟合这加对数据（"」）（其中心1,2,・・.,加）即我们希望适当地选取组合系数®（八1,2,…/），使得在某种范数意义下，误差水力=X一XXjhj4),(i=1,2,…,m)能够达到最小。令hj（dZ，（i=h2,…,m;j=,2,…，叭则上式可用矩阵向量形式把误差向量表为心2—Ax,其中5（
9、x）、a2…4“、厂（X）=b(x)••■,A=a2•••a22…a2n•••••••••ja川an2…%>b=（）W2'…‘儿匚兀=（兀"2'…心）丁当加时，在上式中可要求厂（兀）=0,则估计“⑴宀,…,"的问题就转化为求解线性方程组。当加＞"时,一般厂（兀"°,最小二乘问题就是适当选取兀使误差厂⑴在2范数意义下等于最小。给定矩阵朕C曲及向量处L，寻找XWC〃满足llmw嚟阳汕这就是线性最小二乘问题，其解也称为线性方程组山汕恥严的最小二乘解。在方程组不相容情形，它可视为方程组在最小二乘意义下的最优近似解。在方程组相容
10、时,则最小二乘解与通常意义下的解是一致的。奇异值分解1、奇异值与奇异值分解定理奇异值定理：设AY：r=rank(A),则一定存在加阶酉矩阵U和〃阶酉矩阵V和对角矩阵》=diag((TQ2,…且而00=1,2,…，厂)，使得A=u^vH,称为A的奇杲值分解。复数域内的奇异值：设Aecr>0),A円砒特征
