2018年高中数学参数方程与极坐标“考点”面面看选修4-4

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1、参数方程与极坐标一、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数先确定一个关系%=/（/）（或y=g（t）,再代入普通方程F（x,y）=O,求得另一关系y=g（t）（或兀=/（/））•一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）（x=2,-2_/例1、方程q（r为参数）表示的曲线是（）[y=2/+2~/A.双曲线B.双曲线

2、的上支C.双曲线的下支D.圆分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到2"与2一，互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含/的项，x2-y2=（2f-2'rJ"-（2f+2~z）?=-4，即有y2-x2=4,又注意到丁>02+2一、2JF牙7=2,即^>2,可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-x2=4（y>2）,显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转

3、化的关键是要注意变量范闱的一致性.趁热打铁1：与普通方程F+y—l=0等价的参数方程是（）（/为能数）A?=Sin：B.X=tSt2D.?=C°S：y=cost[y=l_/gf[y=t[y=sin^t解析：所谓与方程X+y-l=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且兀y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.对于A化为普通方程为x2+^-l=0,xe[-l,l],ye[0,1]:对于B化为普通方程为F+y_l=0,jewR,yw（—oo,l]；对于C化为普通方程为F+y—

4、1=0,xg[0,+oo）,ye（-00,1];对于D化为普通方程为x2+y-1=0,xg[-14],[0,1].而已知方程为F+y—1=0,xg/?,yw（—oo,l],显然与之等价的为B.例2、设P是椭圆2x2+3/=12±的一个动点，则x+2y的最大值是,最小值为•分析：注意到变量（兀,y）的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题.若设x+2y=t,则方程x+2y=t表示一组直线，（对于/取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x,y）既满足2x2+3/=12,又满足x+2y

5、=t,故点（兀,y）是方程组+3），=12的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的[x+2y=/一元二次方程的判别式△»0问题.解析：令兀+2y=r,对于（兀,y）既满足2x24-3j2=12,又满足兀+2y=r,故点（兀,y）是方程组的公共解，依题意得lly2-8ry+（2r2-12）=0,由A=64r2-4xllx（2r2-12）＞0,解得：一辰5/5辰，所以x+2y的最大值为辰，最小值为-丁22.点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数兀+2y有困难，也常采用消元，但由满

6、足的方程2x2+3y2=12来表示出尢或y时会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径•即22xy1—+—=1o64数法”.X=y/6COS0,因此可通过转化为&的一元函数以上二个思路都叫“参y=2sin&趁热打铁2：已知线段BB'=4,直线/垂直平分BB',交BB'于点0,在属于/并且以0为起点的同一射线上取两点P,P,使0P・OP'=9,求直线BP与直线B'P'的交点M的轨迹方程.解析：以0为原点，BB，为y轴，/为兀轴建立直角坐标系，则3（0,2）,3

7、'（0,—2）,设P（a,0）,dH0,则由°-_（9、OP・OP'=9,得P—，0，则直线BP的方程为一+兰=1；rr.BP(-2)设M（上y）可得：4x2+9y2=36(x^0),B').Saa2+92a2-IS因此点M的轨迹为长轴长为6,短轴长为4的（a为参数）消去G，椭圆（除B,二、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与兀轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点Pp2=x2+;若把的直角坐标为（

8、兀,y）,它的极坐标为（00）,则(aX直角坐标化为极坐标，求极角&吋，应注意判断点P所在的象限（即角&的终边的位置），以便正确地求出角&・Z3例3、极坐标方程4p-sin2

9、=5表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极处标方程转化为普通方程进行判断.Q1_cm0解析：rtl40sii?_=40=2p—2pcos0=5,化为直角坐标系方程为2“+y2_2兀=5,化简得于=5x+—.显然该方程表示抛物线，故选D.4点评