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1、测不准关系与物理量大小的估算曹雪利摘要测不准关系是量子力学的一个基本原理，这一原理建立的实验基础是微观粒子波粒二象性。对于坐标与动量这对共純量满足>—,其中g为广义坐标，p为广汉动量。通篇的核心是利用这一关系式对量子力学中的物理量进行估算，主要估算各种条件下的基态能量。如：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题、氮原子与锂原子这些多电子问题。本文重点放在氮原子与锂原子基态能量的估算上，最终证明测不准关系在物理量大小的估算问题上具有很强的应用意义和价值。关键词测不准关系物理量大小估算1X引言测不准关系又名“测不准原理”、“不确定关系”，英文“Uncer
2、taintyprinciple",它是量子力学的一个基本原理。这一原理表明：一个微观粒子的某些物理量（如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等），不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共辘量的fl误差的乘积必然大于常数-（^=h/lTi，其屮力是普朗克常数）是徳国物理学家海2森伯在1927年首先提出的，用公式表示可有：xpx>Z//2,ypy>A/2,△z△化》方/2,Et>h/2,该原理反映了微观粒子运动的基本规律，是物理学中又一条重要原理。在量子力学的学习中，我们可以运用这一原理解决一些相
3、应的物理问题，从而完成对某些特定物理量大小得估算，比如我们会经常遇到的物理问题有：无限深势阱问题、线性谐振子问题、氢原子问题等。相应地我们可以估算其基态能量、粒子寿命等的大小。2、测不准关系的理论背景微观粒子波粒二象性是测不准关系建立的实验基础。我们可以以两个不同方面的例子來说明。一是从粒子（电子）的波动性，二是从波（光）的粒子性。2.1关于粒子的波动性一束动量为〃的电子通过宽为心的单缝后发生衍射，而在屏上形成衍射条纹。对一个电子来说，它是从宽为心的缝屮通过的，因此它在x方向上的位置不确定量为心；忽略次级极大，认为电子都落在中央亮纹内，在兀方向有&角偏转
4、，表明电子通过缝时在x方向的动量不确定量为丄△px-〃sin0,第一级暗纹中心的角位置由2hh下式决定：2Vvsin&=2,根据德布罗意公式2=—，得sin&=——,则动量不确定pp^x1h量为一△伏•二一，考虑到衍射条纹的次级极大，可得^xApx>h,这就是不确定关2'Ar系叫2.2关于波的粒子性1923年康普顿及后來的吴有训进行的X射线通过物质时的散射实验，不仅有力地证明了波（光）具有粒子性，而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格地遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。根据光子理论，X射线的散射是单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。由于光子在
5、空间至少要展开徳布罗意波长久的范围，在测定它与电子碰撞位置时的不准确度也就至少在久的范围内。这就是说，如果用心来表示电子位置的不准确度，那么，心总是要不小于光子的波长久，即x>Ao在碰撞时，光子将动量传给电子，所传递动量的大小取决于碰撞是正碰还是斜碰。一般来说，传给电子的动量不可能大于光子原有的动量，电子在碰撞后动量的不准确度约等于光子的动量则有xpx>ho海森伯对这一近似关系式进行了更仔细地数学分析后，发现f,h>-,h=—=1.0545887x10'34J・S。海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，2271即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一
6、个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”以上分析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不進关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。此外，海森伯还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间A/越长，能量测量中的不确定性AE就越小。再加上德布罗意关系Sfl海森伯得到△£Ar>-,并且得出结论：“能量的准确测定如何，只有靠
7、相应的对吋间的测2不准量才能得到。”[713、测不准关系可以用来估计物质结构的不同层次的特征能量。3.1能量大小的估算按照测不准关系=力/2Ax在非相对论情况(对原子，分子，原子核适用)，E=“2/2“=(^)2/2“对于原子，Ax-IO-8cm=10_l0m,用电子质量阻代入，则有M=me=9.10908x1()7仪，得到厂方2(1.0545887x10_34J.5)2卜~2阻(23~2x9.10908x10-31x(2xIO-10m)2«6.02465xIO-19J«4eV对于中等原子核，Ar«6xlO~,3cm=6xl(r,5m,用中子或质子质量代
8、入，即取〃二叫=1.67482x10切畑，同理有厂h2(1.0545887x10
