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1、函数的单调性及典型习题一、函数的单调性1、定义:(1)设函数的定义域为A,区间MA,如果取区间M中的任意两个值,当改变量时,都有,那么就称函数在区间M上是增函数,如图(1)当改变量时,都有,那么就称函数在区间M上是减函数,如图(2)注意:函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性,二是有大小,三是同属于一个单调区间.2、巩固概念:1、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即,则函数y=f(x)是增函数,若即,则函数y=f(x)为减函数。判断题:①已知因为,所以函数是增函数.②若函数满足则函数在区间上为增函数.③若函数在区间和上均为增函数,
2、则函数在区间上为增函数.④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.通过判断题,强调几点:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.4②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质,不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.熟记以下结论,可迅速判断函数的单调性.1.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.2.当f(x)恒为正或恒为负时,函数y=与y=
3、f(x)的单调性相反.3.在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数等3.判断函数单调性的方法(1)定义法.(2)直接法.运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数,二次函数的单调性均可直接说出.(3)图象法.例1、证明函数在(0,+)是减函数.练习1:证明函数在上是增函数.例2、设函数f(x)=+lg,试判断f(x)的单调性,并给出证明.例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y=
4、x2+2x-3
5、4例4、函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范围.例5、已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为
6、x=3的抛物线,试比较大小:(1)f(6)与f(4)例6、函数f(x)=
7、x
8、和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是()A.B.C.D.例7、已知a、b是常数且a≠0,f(x),且,并使方程有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m、n,使f(x)的定义域和值域分别为和?同步训练:一、选择题1.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是A.y=
9、x2-1
10、B.y=C.y=2x2-x+1D.y=
11、x
12、+12.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是A. 增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值
13、为-5D.减函数且最大值为-53.若函数解析式为y=f(x),则下列判断正确的是A、若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均是增函数,则f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上也是增函数B、若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均是减函数,则f(x)在(-∞,0)∪(0,+4∞)上也是减函数C、若f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(x)在(-∞,0)上也是增函数D、若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(x)在(-∞,0)上是增函数 二、填空题4.已知函数y=-x2+2x+1在区间[-3,a]上是增函数,则a的取值范围是______________5.设函
14、数y=f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,则函数y=f(x2-1)的单调递减区间是______________6.若函数y=ax,y=-在(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在(0,+∞)上是________(填单调性). 三、解答题已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(-x)=>0,又g(x)=f(x)+c(c为常数)在[a,b](a<b=上是单调递减函数,判断并证明g(x)在[-b,-a]上的增减性.课后巩固:1、利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.2、.设是定义在R上的函数,对、恒有,且当时,。(1)求证:;(2)证明:时恒有
15、;(3)求证:在R上是减函数;(4)若,求的范围。4