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1、函数的单调性及典型习题一、函数的单调性1、定义：（1）设函数的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值,当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是增函数，如图（1）当改变量时，都有，那么就称函数在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：1、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数y=f(x)是增函数，若即，则函数y=f(x)为减函数。判断题：①已知因为，所以函数是增函数．②若函数满足则函数在区间上为增函数．③若函数在区间和上均为增函数，
2、则函数在区间上为增函数．④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.通过判断题，强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．4②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝
3、f（x）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等3．判断函数单调性的方法（1）定义法．（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（3）图象法．例1、证明函数在（0，+）是减函数．练习1：证明函数在上是增函数．例2、设函数f（x）＝＋lg,试判断f（x）的单调性，并给出证明．例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y＝
4、x2＋2x－3
5、4例4、函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．例5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为
6、x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)例6、函数f(x)＝
7、x
8、和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A.B.C.D.例7、已知a、b是常数且a≠0,f(x),且,并使方程有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m、n,使f(x)的定义域和值域分别为和?同步训练：一、选择题1．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是A．y＝
9、x2－1
10、B．y＝C．y＝2x2－x＋1D．y＝
11、x
12、＋12．如果奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间［－7，－3］上是A. 增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值
13、为－5D．减函数且最大值为－53．若函数解析式为y＝f（x），则下列判断正确的是A、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是增函数，则f（x）在（－∞,0）∪（0,＋∞）上也是增函数B、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是减函数，则f（x）在（－∞，0）∪（0，＋4∞）上也是减函数C、若f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞，0）上也是增函数D、若f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞,0）上是增函数 二、填空题4．已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________5．设函
14、数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________6．若函数y＝ax,y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）． 三、解答题已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（－x）＝＞0，又g（x）＝f（x）＋c（c为常数）在［a,b］（a＜b＝上是单调递减函数，判断并证明g（x）在［－b,－a］上的增减性．课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．2、.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：；（2）证明：时恒有
15、；（3）求证：在R上是减函数；（4）若，求的范围。4
