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1、椭圆一、椭圆及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两个定点F]fF2的距离之和等于常数(大于I片场丨)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.依椭圆的定义,设P是椭圆上一点,则有
2、PF」+
3、P巧
4、=2a,(a为常数且2o>2c)2.椭圆的标准方程：①二+匚=l(a>b>0),焦点在x轴上，焦点坐标片(-。，0),F,(c,0),且c2=a2-h2.crb~22②仝+务=l(a>b>0),焦点在y轴上，焦点坐标F.(0,-c),F,(0,c),且c2=ci2-b2.crb~二、椭圆
5、的几何性质1・范围：一dW兀Wd,—hCyb；2.对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心乂叫做椭圆的中心；3.椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的£,^,8「场；4.长轴与短轴：焦点所在的対称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的4A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段B2・5.椭圆的离心率：e=-,焦距与长轴长Z比，()"<1,w越趋近于1,椭圆越扁；反Z,£越趋近a于()，椭圆越趋近于圆.1.椭圆的方程【例1】已知椭圆=1的离心率e=—,m5则加的值为(
6、)A.3B.半或皿C.逅D.丰或3【答案】【解析】EL亟》j5s时,J55y/m-5VlO25—；=—=-—=>tn=——yjin53Y，V2I【例2】设椭圆—+-v=ia/>/7>0)的离心率为e=-,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的丙个实a2lr2根分别为旺和兀2,则点叫，兀2)()A.必在圆兀2+),2=2内B.必在圆x2+y2=2±C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都冇可能C1h2h2【解析】由已知有e=—=—,于是彳=(x)+xj2-2x,x9=—+—=—+1<2.a2〜■craa【答案
7、】A【例3】(2009东城一模)已知耳+丄=1表示焦点在x轴上的椭圆，则加的取值范围是()nr2+inA.加>2或〃2V-1B.tn>-2C.-2或一2v加v—1【答案】D【解析】lll^,+2>°解得加>2或-2m+2【例4】求焦点的坐标分别为(0,-3)和(0,3),月.过点P(—,3)的椭圆的方程.【答案】222516【解析】法一:由椭圆的定义知2d=J(y)2+(3+3)2+J(y)2+(3-3)2=1(),从而a=5,c=3,Z?2=16,乂椭圆的焦点在y轴上,故所求的标准
8、方程为^-+—=1;2516法二：22・・・c=3,且焦点在y轴上，故可设椭圆的方程为匚+―二=1,crcr-9(匹)2又椭圆过点F(—,3),故有.+』一=1,解得/=25或/=里,5cr-925又c『>9,故宀25,从而得所求的椭圆的标准方程为^+―=1；2516【例5】设定点片(0,-3),役0,3),动点P满足条^PF}+PF2=a+^(a>0),则点P的轨迹是()【答案】【解析】A.椭圆B.D不存在当且仅当时取等号.D•椭圆或线段当『引+『笃
9、=6时，点P的轨迹是线段存巴；当『用+『鬥
10、>6时，点P的轨
11、迹是椭圆.【例6】若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好绘正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为V2-1,求椭圆的方程.Fv2【答案】—+/=1或2_+/=i.1•2【解析】若椭圆的焦点在兀轴上，由椭圆的儿何意义可知，*b=c川>0)上一点P(6,8),片、笃为椭圆的两个焦点,且1PF2,求椭mn圆的方程.
12、【答案】—+^-=118080【解析】'：pfxvpf2,po=^f}f2c2=62+82=100,:.c=W.法一:于是冇逆+3tnn二＞::肿・・•椭圆的方程为和狛法二在RtA^PF；中，•2,/•(/m+ex)2+(x/w-ex)2=4c2、法三:【例8】+%62x6=4xl02.••
13、pf,
14、2+
15、pf2
16、2=
17、片巧•m=180(m=20舍去),n=m—c2=80.Fv2•:椭圆的方程为—+—=1.18080于是椭圆的焦点为(-10,0),(10,0),由椭圆的定义知：2妬=J(-10-6尸+*+J(i
18、o—6)2+*=2艮故加=(6腭)2=180,n=180-100=80,・・・椭圆的方程为和看“设椭圆C：=l(t/>Z?>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点4作垂直于AF的直线交椭圆OC于另外一点P,交X轴正半轴于点Q,且AP=^PQ⑴求椭圆C的离心率；⑵若过人、0、F三点的圆恰好与直线儿X+的y-5=0相切，求
