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《最小二乘法曲线拟合-原理和matlab实现》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、曲线拟合（curve-fitting）:工程实践中，用测量到的一些离散的数据｛（形丿）,，=0,1,2,."｝求一个近似的函数0（兀）来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使0（兀）最好地逼近/（兀），而不必满足插值原则。因此没必要取0（兀）二升，只要使爲=0（兀）-必尽可能地小）。原理：给定数据点｛（兀=0,1,2,・・加｝。求近似曲线°（兀）o并且使得近似曲线与/（兀）的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差Q=0（兀）—x,i=l,2,...,m。常见的曲线拟合方法：1.使偏差
2、绝对值之和最小叫口乞
3、迓
4、=£
5、0（兀）一如0i=ii=i2.使偏差绝对值最大的最小minmax
6、^
7、=
8、0（壬）-必
9、（Pi3.使偏差平方和最小朋mminX$2=£（0（兀）-y）2©i=li=l最小二乘法：按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并口采取二项式方程为拟合曲线的方法，称为最小二乘法。推导过程：1.设拟合多项式为：0（兀）=Q（）+Q]X+・・.+@兀“1.各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下:/t了R・=工卜』-伽+©•©+・•・+/.{)]・J=i3•问题转化为求待定系数q…色对等
10、式右边求也偏导数，因而我们得到了:n-2工卜-+aix+…+心.J)]=04=1n一2工卜一(a。+血工+・・・+心)
11、x=：0J=1ft—2^~^[y—(rt(>+"I-V4-...+珈x")
12、工人=°，i=i4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵:"I•rE=1Xiyi■rOkms5.将这个范德蒙得矩阵化简后对得到:6.也就是说X*A=Y,那么A=(X,*X)-1*X,*Y,便得到了系数矩阵A,同时，我们也就得到了拟合曲线。MATLAB实现:MATLAB提供了polyfk()函数
13、命令进行最小二乘曲线拟合。调用格式：p=polyfit(x,y,n)[p,s]=polyfit(x,y,n)[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)x,y为数据点，n为多项式阶数，返[Hip为幕次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R(对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、nornir(残差)用于生成预测值的误差估计。[p,s,mu]二polyfit(x,y,n)在拟合过程屮，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标
14、准差。polyval()为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x)[y,DELTA]=polyval(p,x,s)y二polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。[y,DELTA]二polyval(p,x,s)使用polyfit函数的选项输岀s得出误差估计YDELTAo它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则YDELTA将至少包含50%的预测值。如下给定数据的拟合曲线：x二[0.5,1.0,1.5,2.025,3.0],y=[1.7
15、5,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。解：MATLAB程序如下：x二[0.5,1.0,1.520,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)xl=0.5:0.05:3.0;yl=polyval(p,xl)；plot(x,y,F；xl,yl,W)运行结果如图1计算结果为：p=0.56140.82871.1560即所得多项式为y=0.5614xA2+0.08287x+1.155600.511.522.53图1最小二
16、乘法曲线拟合示例对比检验拟合的有效性：例：在［0,兀］区间上对正弦函数进行拟合，然后在［0,2兀］区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。在MATLAB中输入如下代码：clearx=0:0.1:pi;y=sin(x);［p,mu］=polyfit(x,y,9)x1=0:0」:2*pi;y1=sin(x1);%实际曲线y2=polyval(p,xl);%根据由区间0到pi上进行拟合得到的多项式计算0到2pi上的函数值，%需要注意的是polyval()返回的函数值在pi到2pi上并没
17、有进行拟合plot(xl,y2,'k*；xl,y1，‘k」)运行结果：P二0.00000.0000-0.00030.00020.00800.0002-0.16680.00001.00000.0000mu=R:[10x10double]df:22normr:1.6178e-07MATLAB的】:优化工具箱还提供了lsqcurvefit()拟合(Solvenonlinearcurve-fitting(data-fitting)函数命令进行最小二
