最小二乘法原理及其MATLAB实现.pdf

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1、最小二乘法原理及其MATLAB实现刘志平(淮海工学院理学院，石林英江苏连云港222005)摘要：本文详细给出了最小二来法的理论推导过程，并以实例的形式说明了如何使用MATLAB函数求解不同类型的拟合问题。关键词：最小二乘法；拟合；MATLABThePrincipleofLeastSquareAlgorithmanditsAehievementbyMATLABLIUZhi—ping，SHILin—ying(SchoolofScience，HuaihaiInstituteofTechnology，Lianyu

2、ngangIiangsu22005)Abstract：Inthispaper，wedicusstheprincipleofleastsquarealgorithmindetail，andexplainhowtosolveitbyusingMATLAB．Foreverytypeofproblem，wegiveanexampletohelpunderstanding．K盯words：leastsquarealgorithm；fitting；MATLAB对丁程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据

3、原型是一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之问的距离平方和最小，这即是最小二乘法。已有的很多文献大多是针对多项式形式，或者是可以转化为多项式形式的问题进行讨论，如文献[3]。本文在详细给出最小二乘法的理论推导过程的基础上，针对不同类型的拟含问题，包括‘般的非线性问题，用具体实例的形式给出了如何使用MATLAB去求解它们。l线性拟合有一组实测数据：已知该数据可能满足的原型函数为y=ax+b，试求出满足上面数据的最d,-乘解的值。首先绘出离散点图，在图1中我们用红五星代表离散点。从图形来

4、看，离散点大致落在一条直线上，故可以用线性拟合来求出离散点问满足的关系。假设所求直线为y=ax+b，下面应用最d,-乘法原理求出a和b。IO令M=Ety,一(旺+6)】2，最小_二乘法原理就是求出使M取得最小值时的a和b，如果把M看作是自变量为a和b的函数，由多元函数取最值的条件可知，上述问题可以通过求方程组JMo佃p)-o的解来解决，即令：l警=之弘电圳纠悻柚扣鼽睁一z扯(叫)】-。’整理得悖+-oa=善10只n’由初始数据可得到：∑一=5．5，∑”=37．356900，芒一，，芒⋯一，代入方程组(1)

5、得：yX．2=3．85’yJ．”=23．1287’儿八／丁任组、，何：冒‘冒⋯f3．85a+5．5b=23．1287fa=3．13‘【5．5a+10b=37．3569由此解得【b=2．01因此拟合曲线为：_'，=3．13x十2．01，该拟合曲线在图1中用蓝色实线表示。上述解题过程在MATLAB环境下，可以直接使用polyfit函数实现，具体的命令格式为：x=【0．1，0．2，0．3，0．4，0．5，0．6，0．7，0．8，0．9，1．0】)，=【2．320l，2．6470，2．9070，3．2885，3．

6、6008，3．9090，4．2147，4．5191，4．8232，5．1275】P=polyfit(x，Y，1)其中polyfit函数中的输入参数1表示采用一次多项式方式拟合，即线性拟合。输出参数P是一个l×2的行向量，其巾P(1)是X的系数，P(2)是常数项。2多项式拟合假如数据满足的函数原型为n次多项式y=anx”+an_iX”。+L+日．x+ao，则polyfit函数利用上述最小二乘法原理同样可以求出吒，a。，L，aIa0，其命令格式为：p=polyfit()【’y，n)，其中输入参数)湘y分别是已

7、知数据的横雀标和纵坐标数组，n指明采用的拟合多项式的次数；输出参数p是一个1X(n+1)的行向量，具体来说，P(1)是x”的系数，P(2)是x”1的系数，⋯⋯，P(n+1)是常数项。3一般的非线性拟合I!l!!!l塑!l塑!l!!!l翌!l!!I!!I!!!!l些!l竺!I对上表中的数据，理论分析得到数据满足的函数原型为：y=a(t)x2十口(2)sin(工)+口(3)，，那么根据最d,--乘法原收稿日期：2008—05—16修回日期：2008—06—11基金项目：淮海工学院自然科学基金资助项目(KX06

8、043；KK06035；KK06036J。作者简介：刘志平(1979一)．男。山东烟台人。淮海工学院理学院讲师．硕士，主要从事计算机辅助几何设计领域的研究。中国西部科技2008年6月(中旬)第07卷第17期总第142期理，如何求得a(1)、a(2)和a(3)呢?对这类问题，可以利用MATLAB提供的lsqcurvefit函数解决，具体步骤为：首先在M文本编辑器里编写用户自定义函数：functionF=myfun(a，工)F=a