最小二乘法原理及其MATLAB实现.pdf

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1、最小二乘法原理及其MATLAB实现刘志平(淮海工学院理学院,石林英江苏连云港222005)摘要:本文详细给出了最小二来法的理论推导过程,并以实例的形式说明了如何使用MATLAB函数求解不同类型的拟合问题。关键词:最小二乘法;拟合;MATLABThePrincipleofLeastSquareAlgorithmanditsAehievementbyMATLABLIUZhi—ping,SHILin—ying(SchoolofScience,HuaihaiInstituteofTechnology,Lianyu

2、ngangIiangsu22005)Abstract:Inthispaper,wedicusstheprincipleofleastsquarealgorithmindetail,andexplainhowtosolveitbyusingMATLAB.Foreverytypeofproblem,wegiveanexampletohelpunderstanding.K盯words:leastsquarealgorithm;fitting;MATLAB对丁程实践中测得的数据进行理论分析,用恰当的函数去模拟数据

3、原型是一类十分重要的问题,最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之问的距离平方和最小,这即是最小二乘法。已有的很多文献大多是针对多项式形式,或者是可以转化为多项式形式的问题进行讨论,如文献[3]。本文在详细给出最小二乘法的理论推导过程的基础上,针对不同类型的拟含问题,包括‘般的非线性问题,用具体实例的形式给出了如何使用MATLAB去求解它们。l线性拟合有一组实测数据:已知该数据可能满足的原型函数为y=ax+b,试求出满足上面数据的最d,-乘解的值。首先绘出离散点图,在图1中我们用红五星代表离散点。从图形来

4、看,离散点大致落在一条直线上,故可以用线性拟合来求出离散点问满足的关系。假设所求直线为y=ax+b,下面应用最d,-乘法原理求出a和b。IO令M=Ety,一(旺+6)】2,最小_二乘法原理就是求出使M取得最小值时的a和b,如果把M看作是自变量为a和b的函数,由多元函数取最值的条件可知,上述问题可以通过求方程组JMo佃p)-o的解来解决,即令:l警=之弘电圳纠悻柚扣鼽睁一z扯(叫)】-。’整理得悖+-oa=善10只n’由初始数据可得到:∑一=5.5,∑”=37.356900,芒一,,芒⋯一,代入方程组(1)

5、得:yX.2=3.85’yJ.”=23.1287’儿八/丁任组、,何:冒‘冒⋯f3.85a+5.5b=23.1287fa=3.13‘【5.5a+10b=37.3569由此解得【b=2.01因此拟合曲线为:_',=3.13x十2.01,该拟合曲线在图1中用蓝色实线表示。上述解题过程在MATLAB环境下,可以直接使用polyfit函数实现,具体的命令格式为:x=【0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0】),=【2.320l,2.6470,2.9070,3.2885,3.

6、6008,3.9090,4.2147,4.5191,4.8232,5.1275】P=polyfit(x,Y,1)其中polyfit函数中的输入参数1表示采用一次多项式方式拟合,即线性拟合。输出参数P是一个l×2的行向量,其巾P(1)是X的系数,P(2)是常数项。2多项式拟合假如数据满足的函数原型为n次多项式y=anx”+an_iX”。+L+日.x+ao,则polyfit函数利用上述最小二乘法原理同样可以求出吒,a。,L,aIa0,其命令格式为:p=polyfit()【’y,n),其中输入参数)湘y分别是已

7、知数据的横雀标和纵坐标数组,n指明采用的拟合多项式的次数;输出参数p是一个1X(n+1)的行向量,具体来说,P(1)是x”的系数,P(2)是x”1的系数,⋯⋯,P(n+1)是常数项。3一般的非线性拟合I!l!!!l塑!l塑!l!!!l翌!l!!I!!I!!!!l些!l竺!I对上表中的数据,理论分析得到数据满足的函数原型为:y=a(t)x2十口(2)sin(工)+口(3),,那么根据最d,--乘法原收稿日期:2008—05—16修回日期:2008—06—11基金项目:淮海工学院自然科学基金资助项目(KX06

8、043;KK06035;KK06036J。作者简介:刘志平(1979一).男。山东烟台人。淮海工学院理学院讲师.硕士,主要从事计算机辅助几何设计领域的研究。中国西部科技2008年6月(中旬)第07卷第17期总第142期理,如何求得a(1)、a(2)和a(3)呢?对这类问题,可以利用MATLAB提供的lsqcurvefit函数解决,具体步骤为:首先在M文本编辑器里编写用户自定义函数:functionF=myfun(a,工)F=a

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