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1、8中等数学命题与解题编拟平面几何竞赛题的几点思考黄全福(安徽省怀宁县江镇中学,246142)笔者在《数学通报》1988年第1期上曾1科学性发表《编拟几何题初探》一文.此后,又先后在科学性———题目要准确无误、不出差错,《数学通报》、《中等数学》、《数学教学》等刊物这不仅是对编题的基本要求,也是编题应遵上发表了自编几何题100多道《全国首届数;循的基本原则.学竞赛命题比赛》一书共收录了73道题(从例1如图1,1200多道参赛题精选出来)中,有笔者3题;△ABC内接于圆,AF近三年来,国家集训队培训考试共用过笔者是内角
2、平分线,延长编的5道几何题.AF交圆于E,作FM时代在前进,命题要创新.本着与时俱⊥AB,FN⊥AC.证进、推陈出新的精神,笔者认为,数学竞赛中明:四边形AMEN与图1的平面几何题,应该充分体现科学性、趣味△ABC的面积相等.性、奇异性、探索性四个特点.(第28届IMO)收稿日期:2004-03-25s=-z3(C)有实根,也有虚根(D)不能确定1z2z3=-z1.(答案:B)又z1=z1-z0=1,则s=1.34.若α、β、γ是关于x的方程x-x-1=0的3ππ31故s=cos+isin=+i.1+α1+β1+γ
3、6622个根,计算S=1-α+1-β+1-γ的值.(1996,加拿大数学竞赛)练习题(答案:-7)1.已知方程z6+z3+1=0的1个根zn+1n0的辐角5.设n是自然数.求证:方程z-z-1=0有主值在区间(90°,180°)内.则argz0的值为().模为1的复根的充分必要条件是n+2能被6整除.n+1n(A)120°(B)140°(C)160°(D)175°(提示:设方程z-z-1=0有模为1的复根(答案:C)nz,则z(z-1)=1.两边取模有z-1=1,故z为圆2.在复平面内,以方程x6=31-33i为根
4、所z=1与圆z-1=1交点所对应的复数,即为z=π对应的点为顶点的多边形的面积为().e±3i,z3=-1,z6=1,zk=1当且仅当6k.又因z3=(A)33(B)63(C)6(D)12-1,而z≠-1,故z2-z+1=0.把z-1=z2代入原(答案:A)方程有zn+2=1,于是,n+2能被6整除.反之,若n3.方程(z+1)2n+(z-1)2n=0(n∈N)的根的π±i+2能被6整除,令z=e3,也适合原方程.)情况为().(A)都是实根(B)都是虚数根2005年第2期9例2如图2,在都代表这个国家的同一地点.
5、试用欧几里得锐角△ABC的边BC作图法(只有圆规和直尺)定出点O的位置.上有两点D、F,满足(第7届美国数学竞赛)∠BAD=∠CAF.作例4如图4,正FM⊥AB、FN⊥AC方形纸片ABCD的边(M、N是垂足),延长长等于a,平面内的图2AD交△ABC的外接两条直线l1∥l2,它圆于点E.证明:四边形AMEN与△ABC的面们之间的距离也等于积相等.a.现将这块纸片平图4(2000,全国高中数学联赛)放在两条平行线上,使得l1与AB、AD都相例2是笔者提供的.交,交点分别是E、F,l2与BC、CD都相交,不妨用动态的观
6、点来看图1,视AE、AF交点分别是G、H.设△AEF的周长等于m1,为两条叠合的线段,当点E在弧BC上运动△CGH的周长等于m2.证明:不论怎样移动(AE顺时针)、点F在边BC上运动(AF逆时正方形纸片,m1+m2总是一个定值.针)时,只要满足∠BAE=∠CAF(图2),就可(2003,亚太地区数学竞赛)达到两个图形面积相等的目的.当然,这仅仅例4是笔者提供的.仔细观察例3、例4,是个猜想,猜想是不能代替证明的.经过一番与其说是两道竞赛题,倒不如说是两场游戏.认真的研究,例2的结论不但成立,而且还引先看例3.图3(
7、甲)中,由于正方形ABCD[1]出了许多形态互异、各具特色的证法来.与正方形A′B′C′D′的对应边互相平行,可断定为位似形,其位似中心就是所求的点O;而2趣味性图3(乙)中的两个正方形对应边不平行,如数学大师陈省身先生曾经说过“数学好:果确定了点O的位置,那么,根据题意必定玩.”笔者冒昧地补充一句“竞赛有味”:,数学满足△OAB∽△OA′B′(进而得到△OBC∽竞赛要做到使人“乐在其中”.△OB′C′、△OCD∽△OC′D′、△ODA∽当你领略下面的两个例子后,你一定会△OD′A′),这就是本题的精华和奥妙.感到
8、什么是“好玩”、“有味”和“乐在其中”.例4则是另一番景象.仔细观察图4,根例3正方形ABCD和正方形A′B′C′D′据已知联结EH、FG得交点O,易知点O是是某个国家的同一地区按不同比例尺绘制的△AEF、△CGH的公共旁心;分别作出这两个地图.将它们如图3所示重叠起来.三角形的旁切圆(它们是同心圆)后,马上就找到了解题的途径.3奇异性数学不仅是锻炼思维的体
