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1、微专题一一函数部分一、考试内容与要求2函数概念与基本初等函数I函数的概念V函数的基本性质V指数与对数V指数函数的图象和性质V对数函数的图象和性质V幕函数V函数与方程V函数模型及其应用V9.导数及其应用导数的概念V导数的几何意义V导数的运算V利用导数研究函数的单调性和极值V导数在实际问題中的应用V二、样题示例设函数/(x)=lnx-o¥,=ex-ax,其中。为实数.(1)若/(X)在(1,+8)上是减函数,且g(x)在(1,4-00)±有最小值,求Q的取值范围;(2)若g(兀)在(-1,+-)上是单调增函数，试求/(兀)的零点个数
2、，并证明你的结论.解：(1)G的取值范围为：a>e.过程略。(2)=0在(一1,+°°)上恒成立，则QWe",故：dwf.=--a=-——(x>0).XX(「)若0vqw£,令fx)>0得增区I'可为(0,+)；令fx)<0得减区间为(+,+8)・当X-*0时，./U)f-°°；当兀〜+8时，J(兀)f-OO；当x=a时,用)=・喩一恃0,当且仅当a=£时取等号・故：当d三时，/W有1个零点；当0<。<占时，.心)有2个零点.Cv(ii)若。=0,则/(兀)=-lnx,易得/W有1个零点.B
3、J：f（x）=x-cuc在（
4、0,+oo）上是单调增函数，当0时，几¥）-*・8；当兀_>+8时，几r）->+8.此时，7U）有1个零点.综上所述：当a=占或aVO时，/W有1个零点；当0时，/W有2个零点.v/V三、近几年真题1.（2011江苏2）函数/（尤）=1085（2兀+1）的单调增区间是2.（2011江苏8）在平面直角坐标系兀°’屮，过坐标原点的一条直线与函数/W-的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_42x+a,xlf若/(I一Q)=/(I+a),则a的值为a>0,2—
5、2ci+a=—1—q—ci——【解析】2,不符合;a<0,-+a-2a=2^-2a+a,a=——4■木题主要考查函数概念，函数与方程，函数模型及其应用，含参的分类讨论，中档题.4.（2011江苏12）在平面直角坐标系"6中，已知点P是函数/⑴（兀>0）的图象上的动点，该图象在P处的切线'交y轴于点M,过点P作/的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,贝91的最大值是【解析】设则/：『一沪=ep-如（0,（1-如0）,过点p作伽垂线y-eA°=-e~XQ（x_xQ）,r.N（0,ex<,+xoe~v°）一沪）/=*[(
6、1_兀比心+幺勺+xQe~XQ]=eXQ+g%(e~x°V宀宀（7）,所以,在（°,1）上单调增，在（1,+°°）单调减，I1/1、•••如=Umax=£（«+_）2e■本题主要考查指数运算，指数函数图象、导数的概念，导数公式，导数的运算与几何意义、利用导4.（2011江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边反为60cm的正方形硕纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB±是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设
7、AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm~）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.（自己解答后对答案）即x=20包装盒容积V（cm3）最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为亍解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题屮的应用，屮档题.5.（2011江苏19）已知a,b是实数，函数/⑴="+俶,g（x）=*+加，厂⑴和以⑴是的导函数，若fMgx）＞0在区
8、间I上恒成立，则称mo和g⑴在区间I上单调性一致.⑴设a>Q，若函数f（X）和&（兀）在区间［7+°°）上单调性一致，求实数b的取值范围;（2）设且若函数/（兀）和&（力在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求
9、a・b
10、的最大值.属于难题，有兴趣的可以自己看答案。解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.（1）屮档题；（2）难题.4.（2012年高考（江苏））设/（兀）是定义在R上且周期
11、为2的函数，在区
12、'可［-1,1］上,处+1,—1W兀v0,bx+2八”/其中ct，beR•若fx+1【解析】・・・兀兀）是定义在R上且周期为2的函数，A/（-l）=/（1）,即_a+匸字①.丄a+l=2宁②.联乂①②，解得，ci=2.b=—4・二d+3b=—1
