实变函数第二章

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1、习题2.11.若E是区间[O,l]x[O,l]中的全体冇理点Z集，求EEE,Eb,解r=0；Er=E=Eb=[0,l]x[0,l]o2.设E=

2、(x,y):0

3、jU{(0,0)},求EEEyEh・解E°=0；Ef=EJ{(x,y):x=0,-

4、l(3)不一定。如设Q二{斤,灼,…亦,…}(-—总有UE”ooU£>Q.但是,"=100二uE。n=lco__En={rn}(单点集)，则U£„=Q=R，而H=18解⑴不一定。如设OU"，…爲，…}，En={rn}(单点集)，则(UE)'=Q'=R,n=lQO而UE；=0.但是,n=(2)不一定。如A=Q,B=RQ,则(AABy=0,ifijAzABr=RAR=R.(4)不—定。如A=(a,方),B=(b,c),则A[B=0,而AAB={b}o(5)不一定。如A=[a,b],B=[b,c]t则A°=(a,b)9B。=(

5、b,c),而G4UB)°=(a,c),A°U3°=(a,c){b}.(6)成立。因为所以(An3)°u4°,(ACBY因此,有(/mB)°u/rn£T。设xeA°C}Bo，则存在J,>0,爲>0使得B(xQ)u4且B(x,%)uB,令3=minCJp^),则。故有xg(AAB)°,即AfB'uWB)。。因此，(Anny=A°^B1.试作一点集A,使得”H0,而(AfY=0・解令4={1,丄丄丄,…丄,・・•},则Af={Q}f(AJ=0.234n2.试作一点集E,使得Eu.解取E=Q,则El=RO3.证明：无聚点的点集至

6、多是町数集.证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A是最多可数。对任意的xeA,都存在戈>0使得B(x,^.)nA={x}o有理开球(即屮心为有理点、半径为正有理数的开球)B(Pzx)uB(2)使得xeB(Pv,rv),从而B(Pv,rx)DA={x}o显然，对于任意的兀,)

7、同？答不相同。例如，点集A=｛1,只有孤立,但是有一个聚点：234nAf=｛0｝o2.对无聚点的点集，是否一定存在一个正数〃，使得该点集中任意二点间的距离大于〃？答不一定。例如，取A=｛（n,O）:n=:/?=，则人无聚点。但是〃（⑺,0）,（/2‘7））=『t0Stoo）,这说明：不存在一个正数〃，使得该点集中任意二点间的距离大于d。3.点集的聚点与点列的极限点有何异同？证明：若x（）gEr,则存在｛£｝uE且£H兀”0Hrn）,使得XnT无）（兀T00）.证明不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概

8、念。对于一个点列g｝：=］UR",可以得到一个点集£=｛忑：£=1,2,・・・｝。如果xogF,则％必是点列｛"｝爲的极限点。反之不真。如取不=1伙=1,2,…）,则1是点列｛无｝醫的极限点,但它不是点集E=｛xk:k=l^-｝的聚点（因为£=｛1｝没有聚点）。对于可数点集E=W，%2，・・・，£,・・・}uR"a$Xj(iHj)),得到点列｛无｝爲。显然，点集E的聚点与点列｛忑｝醫的极限点是相同的。设xoeEf,则对匂=1,3（心斫）屮有E的无限个点。任取一点XjG（£｛x0｝）nB（x0,^1）o令^2=min｛d（X］

9、,Xo）,2'｝,则B（x0,6?2）'I1有E的无限个点。任取一点x2€（E｛x0｝）riB（x0,^2）o如此下去，可得点列｛无｝：=］满足：xkw（E｛Xo｝）r）B（Xo,勺），8k=min｛d（xk_｛,x0）,2_*+,｝（gZ+）.易见,g｝爲是E的各项互不相同的点列且TO伙T8）。可见，XkTX（）伙—>oo）o10.证明：xoer的充要条件是对任意》>0,3（兀00）含有一个界于兀。的E的点证明必要性显然.充分性.对莎=1,在3（兀（）,1）中有一点兀［wE,而兀］工兀（）。令S2=min{d(X],Xo

10、),*},在B（兀（）,心）中有一点x2eEx2o令爲=min｛心,兀（））,*｝在BU（）,^）'

11、'^x3eE且心工兀°。这样继续卜•去，得到E屮各项互不相同的点列｛£｝使得d(xk,x())0(^—>oo)o从而，lim=x0,由上题xQeE,."TOO11