浅谈向量在几何中的应用02020

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1、浅谈向量在几何中的应用宁阳四中271400口厚杰解决立体儿何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使川向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂肓、两向量所成的角、线段的氏度问题。合理地运用向量解决立体儿何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代Z以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。1.证平行、证垂直具体方法利用共线向量基木定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向屋与平面内不共线的两向量共面，再证

2、方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。证明线线、线面垂直则可通过向量垂直來实现。例1如图1,E、F分别为空间四边形ABCD屮AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。证明：EF=EA+AD+DF,fl.EF=EB+BC+CF乂EA=-EB,DF二一CFTT->T所以EF+EF=AD+BC―>]TT1T1—>即EF=—(AD+BC)=-AD+-BC222可知，EF与AD、BC共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。例2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),贝“ABC是分析：AB=(3,

3、4,—8)，AC=(5,1，一7),BC=(2,—3,1)->—»显见：ACBC=0,故△ABC为直角三角形。2.求角、求距离如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。定义：如果n丄a,那么向量n就叫平面a的法向量。[n-a=0求解方法：彳n-b=0（1）异面直线所成的角a,利用它们所对应的向量转化为向量的夹角（）问题，但la・bllal-lbl^G[0,7T],ag[0,—],所以cosq=1cos01=2（2）总线与平而所成的角，利用直线的方向向量与平而的法向量夹角的余角（或补角—》的余角）。如图2：sin6

4、^=1cos1o（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就口J以了。求点而距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。例3.（2005年高考题）如图3,已知长方体ABCD—A]B]C】D]中，AB=2,AA】=1,直线BD与平面AAjB.B所成的角为30°,AE垂直BD于E,F为A】B

5、的小点。（1）求界面直线AE与BF所成的角。（2）求平面BDF与平面AA】B所成二面角（锐角）的大小。（3）求点A到平面BDF的距离。解：在长方体ABCD—A

6、B]C

7、

8、D]屮，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA,所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图3,所以A（0,0,0）,B（2,0,0）,F（1,0,1）,因为直线BD与平面AA】B】B所成2^3"V的角为30°,所以ZDBA=3()°又AB=2,AE丄BD,所以AE=bAD=，因为E(—,32⑴因为花G，孕0）,花（一1,0,1）T—>/—所以cos===TT2血4IAEI-IBFI心q近BF所成的角为arccos——4(2)易知平而AA.B的一个法向量m=(0,1,0),设n=(x,y

9、,z)是平而BDF的一个法向量，BD=(-2,HI,0)3n丄BFn丄BDTn-BF=0-»n•BD=0所以彳-x+z=0°2巧n2xy=03取n=(l,V3,1)m-n7T5所以cos==ImI•InI5(3)点A到平而BDF的距离即AB在平而BDF的法向量n上的投影的绝对值。IIrti秸IIAB-nl2^5所以d=11ABI・cos1=InI例4.如图4,已知正四棱锥R—ABCD的底面边长为4,高为6,点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心。求直线PQ与底面ABCD所成的角。图4解：以0为原点，以OR所在直线

10、为z轴,平行的直线为y轴建立空间直角坐标系。因为底面边长为6,高为4,所以B(2,2,4—4Q(0,2),P(0,0,3),PQ3以过0与AB垂直的直线为x轴，与AB0),C(-2,2,0)，R(0，0,6),所以((),一1),面ABCD的一个法向量为口=(0,0,1),设PQ与底而ABCD所成的角为a-》则sina=1cos

11、、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性,大大降低了立体几何对空间想彖能力耍求的难度。年级高中学科数学版本j坍数内容标题浅谈向量在几何中的应用分类索引号G.622.46分类索引描述辅导与白学主题词浅谈向量在儿何中的应用栏目