浅谈向量在立体几何中的应用

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1、用空间向量解立体几何题王建正空间向量是数学中的重要内容之一，由于空间向量具有数形兼备的特点，与代数、几何知识密切联系，所以是一个重要的数学工具。用“空间向量”解决立体几何的实质是将综合推理转化为代数运算，建立“由形到形，由形到数，由数到形”的新方法，即在计算或证明立体几何问题时，建立空间直角坐标系，把图形中的相关点用坐标表示，相关的线段用空间向量表示，从而将空间问题用坐标运算求解，可以避免较为复杂的空间想象。　　求距离的应用　　求点到直线的距离定理在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离。例设正方体的楞长为，如图。求上底面中心到直线的距离。ABCDA1

2、B1C1D1O1yxz图1　解如图建立直角坐标系，则各点坐标为，，，，所以故上底面中心到直线的距离是。　　求点到平面的距离　　定理设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为．ACBEP图　　例在三棱锥中，，，，。如图。求点到平面的距离。　　解如图，以为原点建立空间直角坐标系。则各点坐标为，。设。因为　　，ACBPzxyHE图3所以　　。，，，设平面的法向量为，，取设点到平面的距离为。所以点到平面的距离为。　　求异面直线间的距离定理、是两条异面直线，是、的公垂线段的方向向量，又、分别是、上任意两点，则异面直线、的就离为．例在四棱锥中，，，，BOACCS图

3、4。如图。求异面直线与间的距离。　　解如图，以为原点建立空间直角坐标系。则各点坐标是，，。，，BOACSyxz图设是异面直线与的公垂线段上的方向向量，是异面直线间的距离。，取。则异面直线与间的距离所以异面直线与间的距离是。　　求两个平行平面的距离　　求两个平行平面的距离一般转化为线面距、点面距处理。例在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点。如图。C1ABCDA1B1D1FE图求平面与平面的距离。　　解如图建立直角坐标系，则各点坐标为，，，，，C1ABCDA1B1D1EFzxyz图因为直线平行于平面，所以平面与平面的距离等于与平面的距离，而与平面的距离可看作上任意

4、点到该平面的距离。设平面的法向量为，取故平面与平面的距离为。　　求角的应用　　异面直线所成角ABCDES图定理设直线、对应的方向向量分别为、，则直线所成的角为，异面直线所成角的范围是，若用余弦定理求得，则异面直线所成角应是。例已知正四棱锥侧棱长与底面边长都相等，是的中点，如图。求异面直线，所成角。　　解点在平面的射影为，所以如图建立直角坐标系，为轴、为轴、为轴。设底面边长为，则各点坐标为，，，，ABCDESOxy图z，，而　　，所以异面直线，所成角是。直线与平面所成角定理设是平面的法向量，是直线的方相向量，则直线与平面所成的角为，即直线与平面所成角大小是直线的方向

5、向量与平面的法向量所成角的余角。　　例面积为的的正方形所在的平面与面积为的矩形所在的平面互垂直，如图。求与平面所成角。ABCDEF图　　解如图建立直角坐标系，因为　　所以　　则各点坐标为，，ABCDEFxyz图所以　　，，设平面的法向量为，所以，取，则，所以与平面所成角为即。　　二面角　　定理设，是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。当法向量，方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角大小等于法向量的夹角。当法向量，方向分别指向二面角的内侧或外侧时，二面角大小等于法向量夹角的补角的大小。　　例正四棱柱中，，点在上且。如图。求二面角的大小。ABCD

6、EA1B1C1D1图　　解以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系。则各点坐标为，，，。，。因为，，ABCDEA1B1C1D1xxyz图故　，。又　，所以平面，即是平面的法向量。设向量是平面的法向量，则，。故　，。令，则，，。等于二面角的平面角，。所以二面角的大小为。　　证明方面的应用　　证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线。利用共面向量定理，证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量是共面向量。例在四棱锥中，底面为正方形，侧棱，、分别为的中点。如图。证明：。　　　　证明如图，建立

7、空间直角坐标系。　　　　　　　　　　　图　　　　　设，，则，　　　　　　　，，。　　　　　　　　　取的中点，则。和是共线向量。所以　　。　　证明线面垂直的方法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图证明直线的方向向量与平面得法向量是共线向量。ABCDPE图证明直线与平面内两个不共线的向量互相垂直。例四棱锥底面为一直角梯形，，，为中点。，，。如图求证：平面。　　证明如图建立以为原点的直角坐标系，设，。则各点坐标为ABCDPxyzE图，，，，，，因为　　且所以　　　　证明面面平行的方法转化为线线平行、面面平行处理。证明这两个平面的法向量是共线向量。　　例在正方体中

8、，设﹑﹑﹑