数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学

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1、数学是研究客观世界的数虽关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的两个重要方面，在研究过程屮，数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合冇般好，隔裂分家万事休。”数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，高屮阶段用的较多的是以形助数,高考中时有出现，在选择、填空题的解答小更能体现其优越性，近年在解答题屮也加重了对数形结合的考查。本文仅就以形助数解决代数问题做粗略的探讨。在代数问题的解决屮，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予具儿何意义，往往变得非常肓观形象从而使问题简单

2、化,达到事半功倍优化解题途径的目的，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题冃的解决简捷明快，同时还可以人大开拓我们的解题思路。1.以形助数解决代数问题的途径：sna—21.1通过坐标系。如直角处标系屮，由8—1可联想到两点连线的斜率。由V?+2x4-2=JS+堺"HP-O*可想到两点间距离。复平面中Bfl为复数所对应的两点间的距离。1.2转化。把正数a看成距离，＜（或ab）看成而积，艺或@bc）看成体积，昭"力看成勾股定理，/4■沪+必与余弦定理相联系。1.3构造。构造一个儿何图形，或构造函数.2、以形助数解决的儿类问题2.1以形

3、助数求最值例1：求函数3-28・8的最大值和最小值分析:如图1,本题是求三角函数的最值，现联想在直角坐标平而xoy」：，引入点P(3,2),—十F=1Q(2cos=sinC则Q点的轨迹是椭圆：4，而y是直线PQ的斜率，由图知直线PQ和椭圆相切时斜率取得最大和最小值，丁•是三角函数问题在平面解析几何小得到解决。解：设直线的方程为丿一2=*(—①由相切的充要条件得0-对=如十1解得2.2以形助数求方程解的个数。例2：当°

4、程冇三个实根。的实根个数等价于方程组分析：如图2,令尸卓咽八*则方程严b0)严」2-耳(2)的解的个数。方程⑵可化为八斗茶_2)严0),它表示两条此类题n若用代数法求解非常繁杂，而用解析法却如此简单，具关键还是iiii线与直线方程的构造及曲线与肓线关系的应用较为肓观、简便。2.3以形助数解、证不等式。例3设OvavhOCvl,求证：+■^1+沪+(l~A)a乏2^/2分析：如图3,在直角坐标系中，构造单位正方形，四顶点分別为8(1.DXXQO,由于°ecl-°

5、正方形四顶点的距离之和不小于"的问题。Icaf^^+O-A)1而

6、OJ

7、=

8、ACl=^乂・・

9、QM

10、4-

11、fl^2:

12、Ofl

13、AM+pM^Ad••叩Ji力+4-^1+Aa4(1-d)力4-^^+(1—A)aN2^2•其中当M収对角线交点时等号成立。2.4以形助数求参数的范用。例4.如果函数=卫+2(«-0*+2在区间(*•町上是减函数,那么实数a的取值范围是()(A)a>-3(B)a^-3(C)aW5(D)a>3［分析及解］如图4可画出f(x)的草图，对称轴为T=—(a—D,开口向上，若使函数在(yo,4］上是减函数,则区间W］在对称轴的左

14、侧,即十4・・・二W-3.选B.此题若不结合图形，只是按单调性的概念理解，则需利用单调性的定义去证,求解过程繁琐,特別对于一道选择题，就得不偿失了。2.5以形助数求代数式的值。例6：求金220。+0“80%方金20°080。的值［分析及解］如图5,本题结构与余弦定理形式相似,联想构造三角形川余弦定理來解。