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1、习题课一、初等模型与常用的建模方法1.奇偶校验法例1在如图所示的4x4方格纸上己填写1,9,8,6四个数字,问能否在余下的方格内各填入一整数，使得方格区上的每一行每一列都构成等差数列？9168解考察左下角格屮所填之数，设为卩，由于所填方格屮都为整数，且该列常專等羞卜网的奇偶性相同渤奇数'该行專霭等差卜対的奇偶性相同帥偶数'这就产生了矛盾的结果，故所要求的填法不存在.例2利用奇偶校验法证明，空间中不存在“有奇数个面，且每个面又都有奇数条边的多面体”・证用反证法.假设存在具有题设性质的多面体，它有加个面数,各个面分别有"],斤2,…,心条边，这里加，
2、厲宀，均为奇数，从而n=n1+n2+…+nm必为奇数.另一方面，在多面体中，每两个相邻的面都有一条公共边，即多面休的棱，而且每一条棱又都为两个面所共有，因此在求得〃时，每一条棱都被重复地计算了一次，所以X®+〃2+…+心又应为偶数，于是产生了矛盾•故由奇偶校验法知根本不存在具有奇数个面，•且每个面乂都有奇数条棱的多面体.例3已知多项式F+处2+CX+d的系数都是整数，且加+Cd为奇数.证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.证用反证法.假设满足条件“加+cd为奇数”的多项式F+W+c+d能分解为两个整系数多项式的乘积，则必有F+b2址cx
3、+d=(兀+°)(兀2+p伙g),其中a,b,c,d,p,q都是整数.令x=0代入上式，得d=aq;(1)令“1代入上式，得l+b+c+d=(l+d)(l+p+g)・(2)由条件“bd+cd=(b+c)d为奇数”知b+c与d必皆为奇数，进而知(2)式左端1+D+C+d为奇数.另一方面，由(1)及d为奇数立知°,g必为奇数，因而(2)右端(l+d)(l+”+q)为偶数,于是产生了矛盾.因此由奇偶校验法知满足条件“bd+cd为奇数”的多项式X+W+s+d不能分解为两个整系数多项式的乘积.1.分析法建模例4将四条腿长相等的长方形桌子放在起伏不平的地面上
4、，如果地血是数学上的光滑曲面，问怎样才能将桌子放平稳?解假定椅子中心不动，四条腿的着地点A,B,C,D如图建立坐标系.将椅子如图旋转到n.所谓着地，就是椅子与地面的距离等于零.由于椅子位置不同，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为&的函数，记/(&)=“AB两脚与地面距离之和”，g(0)=“C,D两脚与地面距离之和”・因地面光滑,/(&)与g(〃)连续；乂椅子在任何位置总有三条腿同吋“着地”,故0e［O^］f⑹与g(&)至少有一个为0,从而.f(&)g(e)=o,〃可0,刃.不妨设g(0)=0,/(0)>0,于是问题抽象成如下的数学问题：假设/(&
5、)与g(°)是&的连续函数，g(0)=0,/(0)>0,且/(0)g(&)=O,牡［0卯］,求证存在%w［o,刃，使得/G)=g(%)=o.证令力(0)=/(&)—g(&),则/7(0)=/(0)-g(0)>0.将椅子旋转G即将AB与CD互换，由g(0)=0,/(0)>0知于3)=0,gS)>0,所以/?(龙)=f(^)一g(龙)=_g(兀)<0.由于h(6在［0,7T］上连续，且/7(0)/7(^)<0,故据连续函数的介值定理知珂0(0,"),使得h(0(J=0,即JW二g(%)，又由/（q）g（q）=o,,故得&o）=g（&o）=O,表明在&
6、=%方向上，四条腿一定能同时“着地”・例5小明在妹妹的主日晚会上，买回一个边界形状怪异的蛋糕。妹妹指着蛋糕上的一点P,要哥哥过此点将蛋糕切成一人一半，能办到吗？解过点P任作一条直线/,将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为,上2・若S严S2,则/即为所求的直线;若S“S2,不妨设,＞52,此时记勺为/与x轴止向之夹角•下面对此种情形证明之.以P为旋转中心，将/按逆时针方向旋转，显然面积S^S2连续地依赖于角a变化，分别记之为S
7、（a）与S?（a），如图所示.设f（a）=Sx（a）-S2（a）9将直线/按逆时针方向旋转兀，易知于&）在&（）,/+刃
8、上连续，且在端点异号：/（ao）=S1（6Zo）-S2（tzo）＞O,/（«o+兀）=S
9、（a。+兀）一S2（a。+兀）=S2（6Zo）-S1（«o）＜O,故据连续函数的介值定理知，必存在一点§丘（兔心）+龙），使得S«)—S2@)=0,S«)=S2@)・于是过P点作直线，使之与X轴正向的夹角成歹，则该直线即为所求.例6—盏灯挂在一米见方的书桌正上方。已知受光面上的照度与光线入射角的余弦值成正比，与到光源距离的平方成反比。问此灯应挂在离桌面多高处，才能使（1）桌子四个角的照明度最大？（2）桌子四边的中点处的照明度最大？又如果是圆形桌子，灯应挂在多
10、高处才能使圆桌边缘处照明度最大？解如图设0为桌子中心点，A为桌上任一点，距离中心点0为r,="为灯的高度，则灯到受光点A的距离由题设A点
