高二预习：空间几何基本定理公理和性质

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1、教师学生姓名填写时间2014年月日年级高一学科数学上课时间2014年月日阶段基础（7）提高（）强化（）课时计划第（共（）次课2）次课知识梳理集合的语言我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基木元索，将直线与平而看做空间的子集,这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面Z间的关系：点/在肓线/上，记作：Aeh点/不在宜线/上，记作教学过程点力在平面Q内，记作：Aea；点力不在平面Q内，记作a；直线/在平面a内（即直线上每一个点都在平面a内），记作/ua；直线/不在平面a内（即直线上存在不在平面a内的点），记作lua；直线/和加相交于点力，

2、记作/nfn={A},简记为/n；平面a与平面0相交于直线G,记作ap/3=a・平面的三个公理（1）公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.图形语言表述：如右图：符号语言表述：Ae1,Bga,Bw/ua⑵公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面,也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面.图形语言表述：如右图，符号语言表述：A,B,C三点不共线n有且只有一个平而a,®Jga,Bea,Cea.⑶公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.图形语言表述：

3、如右图：符号语言表述：=如果两个平而有一条公共肯线，则称这两个平而相交，这条公共直线叫做两个平面的交线.平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有H.只有一个平面.推论2：经过两条相交肓线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，冇只冇一个平面.1.公理1反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点,那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内.2.公理2可以用来确定平面，只要冇不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，示而的三个推论部是由这个公理得到的.要强调这三

4、点必须不共线，否则有无数多个平面经过它们.确定一个平面的意思是有且仅有一个平面.3.公理3反应了两个平血的位置关系，两个平血（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点,它们的交集就是一条公共肓线.此公理可以用来证明点共线或点在宜线上，可以从示而的例题中看到.4.平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到.推论1与2直接在直线上取点，利用公理1与2便可得到结论，推论3是由平行的定义得到存在性的，再由公理2保证唯一性.共面与异面直线如果空间屮儿个点或儿条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面.既不相交乂不平行的直

5、线叫做界而直线.判断两条直线为弄面直线的方法判定定理：与一平1侨相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.如图，符号语言：已知a,则直线AB直线a是界面直线.反证法：要证明两条直线是异面玄线，只需证明它们不相交，也不平行即可.点线共面的证明所谓点线共面问题就是指结论是儿个点或儿条直线在同一•个平面内的问题.证明一个图形是平面图形的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平而内（基本性质1）;（2）经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本性质2）,及具推论.证明-•个图形是平面图

6、形的常用方法：（1）先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内，这种方法通常称为落入法；（2）经有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.这种方法称为重合法；（3）反证法.具体操作方法：（1）证明儿点共面的问题可先取三点（不共线的三点），确定一个平面，再证明其他各点都在这个平而内；（2）证明空间几条宜线共而问题可先取两条（相交或平行）宜线确定一个平而，再证明其余肓线均在这个平血•内.点共线、线共点的证明点共线：所谓点共线问题就是证明三个或是三个以上的点在同一个直线上；线共点：所谓线共点问题就是证明三条或是三条以上的肓•线交于一点.证明

7、点共线、线共点的依据是基本性质3：如果两个平而有一个公共点，那么他们有TL仅有一条直线经过这个点的公共直线，也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上.对于这个基本性质的进一步理解下面三点：⑴如果两个相交平面冇两个公共点，那么过这两点的肓•线就是它们的交线：（2）如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；（3）如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.证明多点共线，通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点同吋在两个相交平而内，然

8、后根据基本性质2就得到这些点在两个平面的交线上.证明三点共线问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上•此外还可先将其中一条直线看