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《格林函数以及拉普拉斯方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、格林函数格林函数的概念及其物理意义格林函数法是求解导热问题的乂一•种分析解法。从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的”场“和产生这种场的”源“Z间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠帅I寸，如果能设法知道点源产牛的场，利川叠加原理，我们可以求岀同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。物体屮的涮度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些
2、热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的,如果作用的吋间足够短，则可以抽彖为瞬吋作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源屮，瞬时点热源虽然仅是-•种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间屮的热源看成是在空间屮依次排列着的许多点热源，在特左的丿1
3、何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬吋点热源所产生的温度场称为热源函数，或称
4、格（Green）函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对丁•线性的
5、导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场替加得到，数学上即成为某种儿分。这就是热源法，或称格林两数法，求解非稳态导热问题的基木思路。采用格林函数法可以求解带冇随时间变化的热源项R具冇非齐次边界条件的导热微分方程,对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清惣。格林函数法可以來求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热
6、源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学屮的靈动问题）。在此仅讨论川格林函数法求解非稳态导热问题。用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件利处标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对•特定定解条件的导热系统确定-其格林函数。本方法的第二个耍点是确定有内热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。木节从几个较简单的例了开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题屮的应用，再推广到更为一般的情况
7、。“瞬吋”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉§分布函数，简称各函数，来表示。6函数的定义为(0>8(x—b)—{lg=b空间变量的三维5函数6(r-rf)在直角坐标系中等同于三个坐标量的5函数的乘积，即S(x-x')8(y-y')5(z-z1)。这样，t'时刻作用在空间某一点r'、强度在数量上等于Pc[J]的瞬时点热源口J写作=°加(…八"(「厂)
8、或在直角坐标系中表示为》(厂・才)=》(兀・才)5(尹・J‘)5(z・Z‘)因此，作用在兀=*处的强度为Pc的瞬时面热源应为PC6(x-x')S(T—TZ)。由这样的
9、热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布G(r,r
10、r*,r!)称为格林函数。其中口变量第一部分表示该温度分布是空间坐标；和时而t的函数，第二部分F和丫’表示瞬时点热源的位置和释放时间。大平壁中的非稳态导热首先从一个简单的一维稳态问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x)和內热源qg)=pcg(x©,平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f(C的作用。该问题的数学描述为dt3辽3厂F+心臥-癌=用）,3x=0,0000工=Ln>0首去该导如藏
11、白亦林矗囁bE諒金以〒的霜助為题:•■■•A•■••••■学=a薛+5（工-#）6（jdr0工」）,00G=0,00dGn力=L,t〉0T"时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应维持为0,而T'时刻的瞬时热源的作用等同于「时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为dGd2Gxz),3GdGda:=0.0VH00VzVL,r=v工=0,疋>0jc=L、z^>0用分离变量法得到的龊以上方程和边界条件的鮒-般形式为00r22/f"IG(i,r；x,r)=Ao-
12、F)exp一加兀";cos竽«-iLL」L系数A",门可以由时的“初始”条件确定,即00凡+工An(xr)cosm=]把纸展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数解到A),A„,(f,f)n^cos,也=1,2，…即格林函数为G(T,r；/,T)=J-m2r2a(r-/)'-D~~.772KJm^XCOS"J—cosIll初始温度分布F⑺的影响可
