数学物理方程格林函数

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1、第十二章格林函数12.1泊松方程的格林函数法有源问题定解＝通解＋边界条件求通解＝积分定解＝积分＋边界条件（格林函数法）1.源问题例静电场处静电场a.无界空间b.有界空间边界上可能出现感应电荷处静电场是源电荷与感应电荷的电势之和。感应电荷是源电荷的结果。计算变成由计算感应电荷，然后是否能一次解决定解＝通解＋边界条件求通解＝积分定解＝积分＋边界条件（格林函数法）2.格林公式第一格林公式：区域T，边界T设和在T中具有连续二阶导数，在上有连续一阶导数。由高斯定理感应电荷是边界问题第二格林公式：交换和：与上式相减即法向导数3.边值问题泊松方程边界条件定

2、义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题4.泊松方程的基本积分公式点源泊松方程单位负电荷在奇异，不能化为面积分。在T中挖掉半径，在的小球。小球边界。边界条件无法带入积分之中！在，。和连续。这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。解在区域T中一点的值通过上面积分，由源项对区域的积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。格林函数：将冲量定理法扩展到空间坐标对两端固定的弦

3、问题变成5.边值问题的格林函数还需知道点源泊松方程度解的边界条件。第一边值问题(狄里希利问题)第三边值问题第一边值问题格林函数第三边值问题格林函数在，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，具有同一个解，可作变换：12.2电像法求格林函数第一边值问题格林函数导体球内有一个点电荷，导体接地。求球内电势。电荷的存在，在导体上感应了电荷。球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。将感应电荷的电势由一“电像电荷”的电势表示如右图，当导体外M1处有电荷时，镜像电荷将在球内M0处。现在，问题反过来，在r0处有电荷-ε0，求r1，和镜像电荷。例1球内第一边值问题

4、在球面上例2半空间第一边值问题解按电磁学思维模式，应当引入镜像电荷表示平面（z=0）上的感应电荷。计算格林函数：镜像电荷的作用为使平面（z=0）上的电势为零。显然，这个电荷位于相对于平面（z=0）对称的几何点，且有相反的电量。法线方向与z轴方向相反