数学物理方程-第五章格林函数法.doc

《数学物理方程-第五章格林函数法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第五章格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet问题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问题.另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题.应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§51格林公式在研究Laplace方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林（Green）公式，它是高等数学中高斯（Gauss）公式的直接推广

2、.设为中的区域，充分光滑.设为非负整数，以下用表示在上具有阶连续偏导的实函数全体，表示在上具有阶连续偏导的实函数全体.如，表示在具有一阶连续偏导数而在上连续.另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将简记为，简记为或等等.设，和，则成立如下的Gauss公式(1.1)或者(1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton）算子：，并记，则Gauss公式具有如下简洁形式(1.3)其中为的单位外法向量.注1Hamilton算子是一个向量性算子，它作用于向量函数时，其运算定义为形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量的散度div.而作用于

3、数量函数时，其运算定义为，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数的梯度grad.设，，在(1.3)中取得(1.4)直接计算可得(1.5)其中.将(1.5)代入到(1.4)中并整理得(1.6)(1.6)称为Green第一公式.在(1.6)中将函数，的位置互换得(1.7)自(1.6)减去(1.7)得(1.8)(1.8)称为Green第二公式.设点，点，.引入函数，注意是关于六个变元和的函数且.如无特别说明,对b求导均指关于变量的偏导数.直接计算可得即在中除点外处处满足Laplace方程.设充分小使得.记,则.在Green第二公式中取，.

4、由于在区域内有，故有或者(1.9)在球面上，，因此(1.10)其中.同理可得(1.11)其中.将(1.10)和(1.11)代入到(1.9)中并令，此时有，，并且区域趋向于区域，因此可得，即(1.12)(1.12)称为Green第三公式.它表明函数在内的值可用内的值与边界上及的值表示.注2在二维情形，Green第一公式和Green第二公式也成立.而对于Green第三公式,需要取，其中，，=.此时Green第三公式也成立.§52Laplace方程基本解和Green函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用.本节介绍Laplace方程的基本

5、解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green函数，由此给出相应区域上Laplace方程或Poisson方程边值问题解的表达式.下面以Dirichlet问题为例介绍Laplace方程的基本解和Green函数方法的基本思想.5．2.1基本解设，若在点放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数)(2.1)易证：在满足进一步还可以证明，在广义函数的意义下满足方程(2.2)其中.称为三维Laplace方程的基本解.当=2时，二维Laplace方程的基本解为(2.3)其中，，.同理可证，在平面上除点外满足方程，而在广义函数意义下满

6、足方程(2.4)其中.注1根据Laplace方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中.另外，也可以利用Fourier变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace方程的基本解.5．2.2Green函数考虑如下定解问题设，是(2.5)—(2.6)的解，则由Green第三公式可得(2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有.而在中，在边界上的值是未知的.因此须做进一步处理.注2若要求解Neuman

7、n问题，即将（2.6）中边界条件换为.此时，在方程（2.7）右端第二项中，在边界上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)(2.6)的解？Green的想法就是要消去(2.7)右端第一项.为此，要用下面的Green函数取代（2.7）中的基本解.设为如下定解问题的解在Green第二公式中取得或者(2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(2.11)其中.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，是如下定解问题的解称为Laplace方程在区域的Green函数.由于在上恒为零，由(2

8、.11)可得.(2.14)因此，若求出了区域的Green函数，则(2.14)便是定解问题(2.5)—(2.6)的解.§53半空间及圆域上的Dirichlet问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域上的Green函数，就可