数-第四章 拉普拉斯方程的格林函数法作业题.ppt

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1、第四章拉普拉斯方程的格林函数法作业题-习题四6.用二维问题的格林函数法求下列上半空间内的狄利克莱问题的解：xyoM1(x0,-y0)n式中在上半平面:y>0外找出点M0关于边界x轴:y=0的像点(对称点)M1,然后在M1上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位-v(是所求的调和函数v)与点M0处单位电荷产生的电位在边界x轴:y=0上相互抵消.此时,放置在M0,M1处的电荷所形成的电场在上半平面内M点的电位就是所要求的格林函数G(M,M0):为求得拉普拉斯方程在上半平面y>0内的狄利克莱问题的解：须计算G对n在边界y=0处的偏导。由于在平面y=0上的外法线方向是Oy轴的负向,所以求得

2、拉普拉斯方程在上半空间z>0内的狄利克莱问题的解：5.求证圆域x2+y2≤R2的格林函数为并由此推出圆内狄氏问题的泊松公式(2.35).M0MM1P解：首先给出圆域上的格林函数,从而并给出圆域内的狄利克莱问题的解.O设有一圆心在原点O,半径为R的圆周Γ.在圆内任取一点M0(rOMo=r0),延长rOMo至M1并使rOMorOM1=r0r1=R2,则点M1称为点M0关于圆周Γ的反演点(或对称点),如图所示.在点M0处放置一单位正电荷,在点M1处放置一q单位的负电荷,通过选择恰当的q值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面Γ为零，即式中P为圆周上任意一点.由于三角形△OM1P与△OM0

3、P在点O处有公共角,且夹这个角的两条边成比例r0/R=R/r1,因此这两个三角形相似.于是得即只要在点M1处放q=R/r1单位的负电荷,则由M0及M1处点源产生的电势在圆周上为零,这样,圆内的格林函数为下面,利用格林函数来求球域内的狄氏问题：须计算G对n在边界G处的偏导。圆周的外法线方向是垂直圆周向外,所以的解:式中,g是向量OM0与OM的夹角.M是圆内任一点，rOM=r，以及所以狄氏问题的解为：应用极坐标系,上式变为:圆域内的泊松公式