拉普拉斯变换法和格林函数法

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1、第四章拉普拉斯变换法和格林函数法¾分离变量法V多维稳态导热V一维和多维非稳态导热¾拉普拉斯变换法V非稳态导热V拉普拉斯变化的定义和性质V拉普拉斯反变换V拉普拉斯法求解非稳态导热问题¾格林函数法V非齐次导热问题V分离变量法和拉普拉斯变化法是构造格林函数的基础V自学,了解。《高等传热学》24.1拉普拉斯变换的基本概念¾参考书:V《数学物理方程》V《数学物理方法》¾拉普拉斯变换法V用于求解非稳态导热问题V应用拉普拉斯变换能消去导热微分方程中对时间变量的偏导数。V求解温度场时要进行拉普拉斯反变换。《高等传热学》3拉普拉斯变化的定

2、义拉普拉斯变换原函数象函数拉普拉斯反变换附录2:函数的拉普拉斯变换表《高等传热学》4单位脉冲函数(狄拉克函数)《高等传热学》5拉普拉斯变换的性质和定理¾线性定理¾位移定理¾延迟定理¾相似定理《高等传热学》6拉普拉斯变换的性质和定理¾导数变换¾积分变换《高等传热学》7拉普拉斯反变换¾查表¾部分分式法若象函数设G(s)是s的n次多项式,H(s)是s的m次多项式,且m>n,则F(s)可以分解成部分分式。举例:令《高等传热学》8设H(s)=0有m个根,其中m个单根,m个重根,则:12《高等传热学》9《高等传热学》10回路积分法¾

3、积分在复数域内进行;¾复变函数的回路积分方法;¾留数定理。《高等传热学》114.2拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题¾4.2.1(双容)集总热容系统导热V部分分式法¾4.2.2一维非稳态导热V回路积分法《高等传热学》12集总热容系统的温度响应¾集总热容系统V非稳态导热时,如果物体内的温度始终是均匀一致的,这种物体称为集总热容系统。V零维非稳态导热¾单容系统¾双容系统《高等传热学》13集总热容系统的判据¾毕渥数Bi=hl/λl=V/A特征尺度¾毕渥数是导热热阻与对流热阻之比,用于判断物体内的温度分布是否均匀。¾毕渥数越小,物

4、体内部的温度变化越小,温度均匀程度越高。¾工程上,Bi<0.1可视为集总热容系统。¾毕渥数足够大时,物体边界温度可近似看作等于介质温度。《高等传热学》14回顾第三章单容集总热容系统¾集总热容系统的导热微分方程¾无热源,并引入过余温度《高等传热学》15环境温度为常量¾集总热容系统的时间常数τc《高等传热学》16¾时间常数τ数值上等于物体温度按初始时刻的温c度变化速率变化时,由初始温度达到环境温度所需要的时间。《高等传热学》17(双容)集总热容系统的温度响应¾集总热容系统V薄壁容器:导热系数很大V液体被强烈搅拌,液体内部温度

5、均匀。V初始温度t,τ>0时,放入t的环境中,t>tiffi。《高等传热学》18¾对容器内液体:¾对容器壁:¾初始条件:《高等传热学》19《高等传热学》20拉普拉斯变化得到:求象函数:《高等传热学》21¾拉普拉斯反变换(部分分式法)求原函数:《高等传热学》22求H(s)=0的根(此处均为单根):《高等传热学》23由得到:《高等传热学》24¾由于¾得到:《高等传热学》25《高等传热学》26《高等传热学》27拉普拉斯变换法求解一维非稳态导热大平板内一维非稳态导热(非齐次的非稳态导热)《高等传热学》28¾经拉普拉斯变换后,微分

6、方程和边界条件为:¾求解常微分方程:《高等传热学》29¾回路积分法进行拉普拉斯反变换,求原函数。《高等传热学》30拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题¾建立导热问题的导热微分方程,列出边界条件和初始条件;¾对导热微分方程和边界条件进行拉普拉斯变换,得到象函数的常微分方程(或代数方程)及其边界条件;¾求解象函数的常微分方程(或代数方程),得到象函数;¾由拉普拉斯反变换,解得温度场。《高等传热学》31格林函数法¾非齐次导热问题¾分离变量法和拉普拉斯变化法是构造格林函数的基础¾自学,了解。《高等传热学》32

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