微积分(二)知识点总结微分方程2

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1、把川大徐小湛老师第一节《微分方程的基本概念》中的几个“验证……是原方程的解”的题，再看看。温故知新导数的儿何意义函数y=f(x)在点X。处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点巩X。，讯X。))处的切线的斜率.即：心线=广(勺)导数的物理意义一阶导数为速度；二阶导数为加速度。第七章微分方程函数是客观事物的内部联系在数罐方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究•因此如何寻求函数关系，在实践中具有重要意义•在许多何题中■往往不能直接找出所需要的函数关系•但是根据问题所提供的悄况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式•这样的关系式就是所谓邂玆麦•微分方程建立以后，对它

2、进行研究，找出未知函数来，这就是泌施靈齐备主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的嬴?i第一节微分方程的基本概念汕线上任血一点处的切线余斗率咎于该点的横坐标的平"丄丄曲线远城乩求間线的冇程。设曲线方程为奚一，（O）=O微分右程一阶方程初始条件y=/（乂）c未矢II国数〉例2（落休运动）在r=O时，物体位于$=10m处，物休的初速度v0=2m/s（向下）设物体只受重力作用，求物体的运幼规律°设物休的运幼规律为:S=s（7）未知函数£=S（/）比导数的物理意义：s"（Z）=a=g重:力加速度由题意待:sS=gs(0)=10V(0)=2微分万程二阶万和初始位宜初始条件初速度第二节可

3、分离变量的微分方程第三节齐次方程齐次方程的标漁形武二或者注：这里的齐次方程是一阶齐次方程。不是—阶线性齐次方程。例1解方程解原方程可写成乜=因此是齐次方程•令工=“则U=uM于是原方程变为，得dxdx（积的导数的运算法则）“+冲丄dxu-duu“-ln

4、“

5、+C=ln

6、>r

7、,ln

8、xwI=«+C・两端积分，得或写为以占代上式中的皿得所给方程的通解为lnlyl豊+C・第四节一阶线性微分方程+a°(x)，=/(x)自由项标准形式：字+P(xly=0(x)°axC?(x)0非齐次线性方程对应齐次线性方程二字+P(x)y=0ax一阶线性方程的解的结构y=Ce~^(x)dx+对应齐次方程的通解原

9、方程的一个特解y=y-hy*7例1解方程：(兀+1)/-2y=(兀+1)2解题方法一f常量变易法”解题方法二：公式法”一直接套公式解:将原方程化为标准形式：yy=(尤+if,1.求对应齐次线性方程的通解dydxdydx分离变量得f积分得Iny=2In(%+1)+InC即In

10、y

11、=In(x+1)2+InC通解为亍二BT.C(x+1)22•用特量变易法球原方程的通解U（X）（X+1）2是原方程的通解则y'=u*(xX%+1A+2%(xXx+1)将上面的两式代入原方程得u1(xXx+1)2+2u(xXx+1)・U(xXx+1)2(X+1)5_T化简得u1(xXx+1)+2宛(x)—2•%(%

12、)=(%+1)2即Q（兀）=（兀+1）亍93积分得％（兀）=亍（X+1）亍+c所以,原方程的通解为(x)(x+1)2=(x+1)2(X+1)2~4-Co7即y=c(X+1)2+—(x+i)r下面验证y=C（x+1）2+扌（兀+1）亍是原方程7的通解。例'解方私（兀+2-2"（兀+1）275*=2C(x+1)+—(兀+1)亍左边=(兀+1)y'-2y=(x+1)2C(兀+1)+—(x+1)T27-2C(x+1)2+—(x+1)7=2C(x+I，++1)T—2CC+I)?一±(无+1)T=(X+1)2~=右边一、5.（ii・7）微分方程y=—的通解是xy+y解题方法一r常量变易法”…这是解一

13、阶线性微分方程的“量身定做”的特定解法!!!解析：原方程两边同时求倒数，化为dx3这就是原方程的标准形式。1.求对应齐次线性方程的通解dxcdxdy-yx=()t=yxdy分离变量得牛二皿积分得In卜

14、=牛歹彳+gc12fiPInx=e2+InC通解为7=Ce2.用“常量变易法”求原方程的通解设兀=«G>^2是原方程的通解1,21,2则2=w1(y)e2'+u(y2•y将上面的两式代入原方程Aw=k得dy1,2J_21丫2w*(y)(?2+%(y》—-y-y・u(y)e2=y化简得19"W=y312即八(小八F1.2积分得弘（y）=JyS八4（反对壽三指）1.2（1、=~y2e2d

15、-—y2（凑微分法）丿（_£.A-~y2d宀（分部积分法）丿"12]2/、「=-厂厂刃_〃（厂）+2”亍121?V-y2e2'-2e2'+所以,原方程的通解为121°x=u（y）e^y=e^'~（凑微分法）12I—yy2-2e21,2即x=Ce2-y2-2解析：原方程两边同时求倒数，化为务-Wy3解题方法二：公式法”一直接套公式用线性方程通解公式求解yy_2L=02+八.^e2dy（反对幕三指）r=Ce221+e2（凑微分法