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1、多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1.理解简单多面体的定义2.理解并熟记欧拉公式3.会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种一认识欧拉一拓扑变形一简单多面体概念一研究正多面体V、F、E的关系一欧拉定理一证明一欧拉定理的意义【教学过程】1.(1)什么叫正多面体？特征？正多面体是--种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。(2)正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。2.介绍数学家欧
2、拉欧拉(1707〜1783)瑞士数学家，大部分吋间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生硏究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用/々)表示函数、为表示连加、i表示虚数单位、兀、e筹。在多面体研究屮首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。3・通过模型研究正多面体V、F、E的关系正多面体顶点数Vertex面数Face棱数EdgeA、V+F-E正四面
3、体4462正六ifii体86122正八曲体68122正十二面体2012302正二十面体1220302发现关系：V+F-E=20是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一•个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体,那么它会连续(不破裂)变形，最后可变成一个球面。像这样，表面经过连续变形可变为球而的多面体，叫做简单多面体。1.欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数Z间特有的规律2.定理的证明
4、分析：以四面体ABCD为例。将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四而体的顶点数V、棱数V与剩下的而数F.变形后都没有变（这里FlF・1）。因此，要研究V、E和F的关系，只耍去掉一个面，将它变形为平面图形即町。只霸平而图形证明：V+F「E=1（1）去掉一条棱，就减少一个而，V+F「E的值不变。例如去掉BC,就减少一个面ABC。同理，去掉棱CD、BD,也就各减少一个而ACD、ABD,由于V、FrE的值都不变，因此V+F「E的值不变（2）再从剩卜•的树枝形中，去掉一条棱,就减少一个顶点，V+F]・E的值不变。例如去掉CA,就减少一个顶点C。同理去AD就
5、减少一个顶点D,戢后剩下AB。在以上变化过程中，V+F]・E的值不变，V+F】・E=2・0・l=l,所以V+F-E=V+Fi・E+1=2。CCC对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。3.定理的意义（几点说明）（1）数学规律：公式描述了简单多而体中顶点数、而数、棱数Z间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程屮，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，对随意拉仲；在方法上将底而剪掉，然后其余各而拉开铺平，化为平而图形（立体图f平面图）。（3）引入拓扑新学科：'‘拉开图”与以前的展开图是不同
6、的，从立体图到拉开图，各而的形状，以及长度、距离、而积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程屮的不变的性质。（4）给岀多面体分类方法：在欧拉公式屮，令f（p）=V+F-E/（刃叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f（p）=20除简单多面体外，还有不是简单多而体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变
7、为一个环面，它的欧拉示性数为戶16+16・32=0,所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。（5）利用欧拉定理nJ解决实际问题例1・一个简单多面体的棱数可能是6吗？分析：设有简单多面体棱数E=6,由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8乂VM4,FN4,所以V+F>8所以V=4、F=4,即有4个顶点、4个面。由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面。所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三棱锥。例2.有一个各面都是三角形的正多面体，设顶点数V、面数F、棱数E,3F（1）求证：E=—F,V=—+222（2）如果过各顶点的棱数都相等，则此多面体是儿面体
8、？（1）证明：因为此正多面体有F个面，每个面有3条边，所以F个面总共有3F条边,
