研究性课题：多面体欧拉定理的发现

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1、研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时　欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利

2、用规律解决问题的能力.教学重点　　　欧拉公式的发现.教学难点　　　使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法　　　指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努

3、利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。种种磨难，并没有把欧拉搞垮。大火以后他立即投入到新的创作之中。资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多

4、手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。10数学方面：他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目物理方面：他创立了分析力学、刚体力学，研究和发展了弹性理论、振动理论以及材料力学，在光学上也有杰出的贡献，古典力学的基础是牛顿奠定的，而欧拉则是其主要建筑师

5、，他研究了天文学，并与达朗贝尔、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，流体力学的创始人。其它方面：欧拉在搞科学研究的同时，还把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题，为社会作出了重要的贡献。如菲诺运河的改造方案，宫延排水设施的设计审定，为学校编写教材，帮助政府测绘地图；在度量衡委员会工作时，参加研究了各种衡器的准确度。另外，他还为科学院机关刊物写评论并长期主持委员会工作。他不但为科学院做大量工作，而且挤出时间在大学里讲课，作公开演讲，编写科普文章，为气象部门提供天文数据，协助建筑单位进行设计结构的力学分析，他把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上

6、添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1正多面体顶点数V面数F棱数E正四面体446正六面体8612正八面体681210正十二面体.201230正二十面体122030观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5

7、条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？不一定.请举例说明.如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.此时棱的数目呢？棱数都是一样的.所以我们得