研究性课题 多面体欧拉公式的发现

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1、研究性课题　多面体欧拉公式的发现　　　　【教材分析】教材结合9.8节关于多面体的分类而编，目的在于以学生主动参与的发现式学习活动，培养他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力。【学情分析】　　该公式的证明较抽象，前后知识的联系较少，学生理解上有较大难度。但在前面立几教学中学生已有将空间问题转化为平面问题来研究的降维思想和转化策略的基础，所以本节课采用多媒体辅助教学，降低空间想象的难度，突破降维过程中的变与不变的难点，从而达到降低教学难度的目的。【教学目标】1、知识目标：培养学生观察，归纳，大胆猜想的能力，了解欧拉公式的发现及其法。2、能力目标　掌握公式证明体现的思想方法。使学生领悟

2、转化、化归思想，从空间到平面的降维策略，学会从一般到特殊和特殊到一般的分析问题和解决问题的方法，增强学生应用数学知识解决实际问题的的意识和能力。3、情意目标　通过教学使学生了解和感知欧拉公式发现的历程，激发学生热爱科学勤奋学习热情，培养学生勇于探索的创新意识。【教学重点】欧拉公式和它的证明，证明的思想方法是重点。【教学难点】证明过程是难点。【教学过程】问题1：下面6个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填出表1。(1)(2)(3)(4)(5)(6)4图形编号顶点数V面数F棱数E（1）（2）（3）（4）（5）（6）　　观察表1中各组数据，猜想V、F、E之间的规律：＿＿＿

3、＿＿＿＿＿＿＿＿。　　是否任意一个多面体都有上述规律吗？问题是数学的心脏。创设问题情境，让学生在解决问题的过程中去观察、猜想、探索；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探究性学习的习惯，培养和锻炼学生的探究能力。问题2：下面3个多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填出表2。　　　　　　　　（7）　　　　　　　　　（8）　　　　　　　　　　　（9）　　　　　图形编号顶点数V面数F棱数E（7）（8）（9）简单直观的问题情景能一下子激发学生探索的兴趣。学生进入问题情景，发现问题，在问题的驱动下，进入探究性活动。问题3：比较前面问题1和问题2中的图形，如果这些

4、多面体的表面都是用橡皮膜制成的，并且可以向它们的内部充气，那么其中哪些多面体能够连续（不破裂、不粘连）变形，最后其表面可变为一个球面？哪些能变为一个环面？哪些可变为两个对接球面？教师向学生提供材料，学生收集证据。观察、实验、调查、分析处理，教师引导学生大胆质疑，提出问题，提出各种猜想和假设。引入“简单多面体”的概念：假设多面体的表面是橡皮膜制成的，可以向它们的内部充气，那么能够连续（不破裂、不粘连）变形，表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。4猜想：观察表中各组数据，对于简单多面体，V、F、E之间的关系是＿＿＿＿＿＿。教师引导学生将具体现象定性抽象为一般的现象或结论。使学生在

5、探究过程中提高质疑和批判能力，使学生的创新探究能力和良好的科学品质得到升华。这个公式称为欧拉（L.Euler）公式（多媒体演示欧拉生平，展示科学家的丰采）欧拉（LéonardEuler，1707~1783）著名数学家、物理学家和天文学家。生于瑞士巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习神学和希伯来语，而以数学才能受到约翰·贝努利的赏识与特别指导。曾获得硕士学位。1727年应邀到俄国讲学。1733年任彼得堡科学院数学教授。1741年移居柏林，任柏林科学院物理数学所所长。1766年再次到俄国。1783年卒于彼得堡。  欧拉19岁开始发表论文，半个多世纪里始终以充沛的精力，不倦地工作。他28

6、岁是右眼失明，59岁后左眼也视力减退，渐至失明。在失明的十多年里，欧拉以惊人的毅力，凭着记忆和心算，仍然坚持富有成果的研究，直到生命的最后一刻。欧拉的工作涉及数学的各个领域，他是历史上最多产的数学家之一，后人计划出版他的全集多达72卷。   欧拉是变分法的奠基人和研究复变函数的先驱者，对牛顿、莱布尼茨的微积分学和傅立叶级数的发展起了相当大的推动作用。科学家研究自然并不是因为它有用，他研究它是因为他喜爱它，他喜爱它是因为它美。构建课堂文化氛围，让学生感受数学美。问题4：上面图（6）表示任意一个简单多面体，假设它们的表面是橡皮膜制成的，将它们压缩到其底面所在的平面，如何画出压缩后的平面

7、图形？（多媒体演示压缩的动态过程，感知降维后的效果）问题5：在压缩前后哪些量发生了变化，而哪些量没有发生变化？采用CAI教学方式，能强化学生多种感官对数学问题的感知，提高课堂效益。问题6：怎样用棱数E和面数F表示多面体所有多边形的内角和？　　　　①在图（6）中设多面体的F个面分别是边形，则各个面的内　　　　角和是________________________________。　　　　②其中＋＋＋和多面体的棱数E的关系为_______________。　　　　　所以多