§9.10 多面体欧拉定理的发现

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1、§9.10研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标：1.通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2.体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3.通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体.这个多面体有

2、60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系.我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2.实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体FVE四面体446正方体6812五棱柱71015四棱锥558非凸多面体6610正八面体8612“屋顶”体9916截顶立方体710

3、15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12正八面体：F=8，V=6，E=12。这说明了什么？好像隐约透露出某种联系.为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E增加的顺

4、序重排，得：多面体FVE四面体446四棱锥558非凸多面体6610正方体6812正八面体8612五棱柱71015截顶立方体71015“屋顶”体9916观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V随E的增加而增加。引导学生从“数量”角度寻找更精确的规律，从而不难得出一个漂亮的猜想：对任何多面体，面数与顶点数之和，等于棱数加2；即：V+F=E+2。注：尽可能让学生经历发现的过程，体验不断矫正，逐步完善的猜想历程。（3）检验猜想（i）从有限到无限的检验以上8种多面体对于无限多个多面体来说，无

5、异是沧海一粟，能否寻找到更多的支持呢？问题2：能不能找到一系列或无限多个证据来说明上述猜想呢？用最常见的n棱柱和n棱锥（n=3，4，5，…）检验，统计结果列成下表：多面体FVEn棱锥n+1n+12nn棱柱n+22n3n则对n棱锥来说，F+V=（n+1）+（n+1）=2n+2=E+2，对n棱柱来说，F+V=（n+2）+2n=3n+2=E+2，公式都成立；于是，猜想在两系列的无限多个多面体上被证实；这样，我们的信心又增加了，而且增加的幅度很大。（ii）在变化中检验猜想审视前面检验过的多面体，一共有3类：一类是棱柱，一类是棱锥

6、，由（i）对任意n棱柱和n棱锥猜想都成立.还有一类是正八面体、“屋顶”体和截顶立方体，不难发现，正八面体、“屋顶”体可看成“构造方式”相同的：它们分别是在棱柱或棱锥底面上“安装”一个“顶”形成的，而截顶立方体则是截“顶”得到的，那么能否将猜想作进一步的检验呢？即：问题3：对多面体“装顶”、“截顶”后猜想是否还成立呢？师生共同探讨：先看“装顶”情形.不妨设我们装的“顶”是n棱锥，那么在一般情形下，它失去一个面（选定装顶的面），而增加了n个面，又增加了一个顶点和n条棱，若原多面体的面、顶、棱数分别为F、V、E，则“装顶”多面

7、体的面、顶、棱数分别为：F，=F－1＋n，V′=V＋1，E′=E＋n；若F＋V=E＋2，即F－E＋V=2成立，那么F，－E，＋V，=（F－1＋n）－（E＋n）＋（V＋1）=F－E＋V=2，即F，＋V，=E，＋2也成立。对于“截顶”情形.若以截去的一个顶点为端点的棱有n条，则原多面体的面数F、顶点数V、棱数E分别变为：F，=F＋1，V′=V＋n－1，E′=E＋n；若F－E＋V=2成立，那么F，－E，＋V，=（F＋1）－（E＋n）＋（V＋n－1=F－E＋V=2，即F，＋V，=E，＋2也成立。我们的猜想终于经受住了“截顶”和“

8、装顶”两种变化的考验，这是一次相当严峻的考验。这很自然地被看成是对猜想成立的极为有利的证据.注：成熟的科学家，不轻易下结论；对一些在很多情况被证实了的规律性，他们仍表示怀疑。为了检验其正确性，还要进一步搜集资料，或设计新的实验，我们也要这样做。（iii）寻找猜想不成立的证据至此，对一系列同类型的多面体的反复检验已无多