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1、第22讲锐角三角函数(解直角三角形)【知识点回顾】二、要点复习1.锐角三角函数的概念sina=,cosa=,tana=说明:①当ZA固定时,厶的正弦值,余弦值,正切值都是固定的,这与ZA的两边长短无关.②上而各式从整体看是一个等式,而右边是一个分式,因而具有等式、分式的性质,当己知式中两个量时,可求第三量.2、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做厶的锐角三角函数.说明:由于锐角三角函数都是线段的比值,因而都是正数,而且没有单位.3、特殊角度的三角函数值特殊角度(3°°,45°,60。)的三角函数值:三角函数30°sinacosat
2、ana45°60°4、各锐角三角函数Z间的关系式:(1)互余关系:sinA=,cos4=,tanA=(2)平方关系:sin2A+cos2/l=.(3)倒数关系:tanAcotA=,tanAtan(90°-A)=,.(4)相除关系:tanA=..5、解直角三角形解直角三角形的概念:在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求岀所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.解直角三角形的工具:在RtAABC中,ZC=9(T,ZA,ZB,ZC所对边分别为°,也c1、三边Z间的关系:(勾股
3、定理).2、锐角之间的关系:.3、边角之间的关系:o说明:①利用这些关系,知道其中的2个元素(至少有一个边),就可以求出其余的3个未知元素.②已知两个角不能解直角三角形,因为有两个角对应相等的两个三角形相似,不一定全等.因此其边的大小不确定.6.直角三角形解法:直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:1.己知一条直角边和一个锐角(如ZA)其解法为:ZB=90°-ZA,c=-^—,b=°•cotA(或b=^Jc2-a2)sinA.2.己知斜边和一个锐角(如c,ZA)其解法为:ZB-90'-ZA,a-c
4、sinA.b-c-cosA(或b二7c2-a2)3•已知两直角边(如Q,其解法为:c=由tanA=纟得ZA,ZB=90°-ZAb•94.已知斜边和一直角边(如c,。),其解法为:b=Jc?-/,由sinA=-WZAZB=90°一c7.解直角三角形的应用(1)仰角、俯角:如图1,在我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角.(2)坡度、坡角:如图2,我们通常把坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比叫做坡度(或坡比),用字母'表示即I.坡面与水平面的夹角叫坡角.坡度与坡角(若用Q表示)
5、的关系:’二tana.坡角越大,坡度也越大,坡面越陡.方向角:如图3,平面上,过观测点°作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从°点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角.例如,图中“北偏东30°”是一个方向角,又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线,此时的方向角为“北偏西45°”(或“西偏北45。”).【典型例题解析】例1.(2016•湖北荆州)如图,在4x4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,AABC的顶点都在格点上,则图中ZABC的余弦值是()nA-2B—C1D-Vs
6、【考点】勾股定理的逆定理;锐角三角函数的定义.【分析】先根据勾股定理的逆定理判断IBAABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解:•・•由图可知,AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AB2=32+42=25,•••△ABC是直角三角形,且ZACB=90°,・;cosZABC二些•二^^.MJ5故选D.例2.(2016-陕西)己知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tanZCAB的值为()A.寺B.逅C.色ED.2255【考点】抛物线与X轴
7、的交点;锐角三角函数的定义.CD【分析】先求出A、B、C坐标,作CD丄AB于D,根据tanZACD=y^即可计算.AD【解答】解:令y=0,贝0-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨设A(-3,0),B(1,0),Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,八丫•・・•顶点C(-1,4),如图所示,作CD丄AB于D.CD4在RTAACD中,tanZCAD=--~2,AD2故答案为D.例3.(2016-福建龙岩・6分)计算一V12+1V3-31-2sin60°-(V3)2+2016°【考点】实数的运算;零指数幕;特殊角的
8、三角函数值.【分析】原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,零指数幕法则,以及平方根定义计算即可得到结果.例4・(2016-重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然