第22讲-锐角三角函数(解直角三角形)

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1、第22讲锐角三角函数(解直角三角形)【知识点回顾】二、要点复习1.锐角三角函数的概念sina=,cosa=,tana=说明:①当ZA固定时，厶的正弦值，余弦值，正切值都是固定的，这与ZA的两边长短无关.②上而各式从整体看是一个等式，而右边是一个分式，因而具有等式、分式的性质，当己知式中两个量时，可求第三量.2、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做厶的锐角三角函数.说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位.3、特殊角度的三角函数值特殊角度(3°°，45°,60。)的三角函数值:三角函数30°sinacosat

2、ana45°60°4、各锐角三角函数Z间的关系式：(1)互余关系：sinA=,cos4=,tanA=(2)平方关系：sin2A+cos2/l=.(3)倒数关系：tanAcotA=,tanAtan(90°-A)=,.(4)相除关系：tanA=..5、解直角三角形解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求岀所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.解直角三角形的工具：在RtAABC中，ZC=9（T,ZA,ZB,ZC所对边分别为°,也c1、三边Z间的关系：（勾股

3、定理）.2、锐角之间的关系：.3、边角之间的关系：o说明：①利用这些关系，知道其中的2个元素（至少有一个边），就可以求出其余的3个未知元素.②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等.因此其边的大小不确定.6.直角三角形解法：直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：1.己知一条直角边和一个锐角（如ZA）其解法为：ZB=90°-ZA,c=-^—,b=°•cotA（或b=^Jc2-a2）sinA.2.己知斜边和一个锐角（如c,ZA）其解法为：ZB-90'-ZA,a-c

4、sinA.b-c-cosA（或b二7c2-a2）3•已知两直角边（如Q,其解法为：c=由tanA=纟得ZA,ZB=90°-ZAb•94.已知斜边和一直角边（如c,。），其解法为：b=Jc?-/,由sinA=-WZAZB=90°一c7.解直角三角形的应用（1）仰角、俯角：如图1,在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.（2）坡度、坡角：如图2,我们通常把坡面的铅直高度〃和水平宽度/的比叫做坡度（或坡比），用字母'表示即I.坡面与水平面的夹角叫坡角.坡度与坡角（若用Q表示）

5、的关系：’二tana.坡角越大，坡度也越大，坡面越陡.方向角：如图3,平面上，过观测点°作一条水平线（向右为东向）和一条铅垂线（向上为北向），则从°点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.例如，图中“北偏东30°”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西45°”（或“西偏北45。”）.【典型例题解析】例1.（2016•湖北荆州）如图，在4x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，AABC的顶点都在格点上，则图中ZABC的余弦值是（）nA-2B—C1D-Vs

6、【考点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义.【分析】先根据勾股定理的逆定理判断IBAABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解：•・•由图可知，AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AB2=32+42=25,•••△ABC是直角三角形，且ZACB=90°,・；cosZABC二些•二^^.MJ5故选D.例2.(2016-陕西)己知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则tanZCAB的值为()A.寺B.逅C.色ED.2255【考点】抛物线与X轴

7、的交点；锐角三角函数的定义.CD【分析】先求出A、B、C坐标，作CD丄AB于D,根据tanZACD=y^即可计算.AD【解答】解：令y=0,贝0-x2-2x+3=0,解得x=-3或1,不妨设A(-3,0),B(1,0),Vy=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,八丫•・・•顶点C(-1,4),如图所示，作CD丄AB于D.CD4在RTAACD中，tanZCAD=--~2,AD2故答案为D.例3.(2016-福建龙岩・6分)计算一V12+1V3-31-2sin60°-(V3)2+2016°【考点】实数的运算；零指数幕；特殊角的

8、三角函数值.【分析】原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幕法则，以及平方根定义计算即可得到结果.例4・（2016-重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然