第17讲 锐角三角函数与解直角三角形

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1、第17讲　锐角三角函数与解直角三角形[锁定目标考试]考标要求考查角度1.理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°)的三角函数值，并会进行计算．2．掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形．3．利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.　　中考主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形．题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.[导学必备知识]知识梳理一、锐角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为

2、a，b，C．∠A的正弦：sinA＝＝________；∠A的余弦：cosA＝＝________；∠A的正切：tanA＝＝________.它们统称为∠A的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b

3、，C．(1)三边之间的关系：____________；(2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sinA＝，cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝.3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝，由tanA＝，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4

4、)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝，由sinA＝，求出∠A，∠B＝90°－∠A．四、解直角三角形的应用1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．自主测试1．(2012四川乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为(　　)A．B．C．D．12.(2012

5、浙江舟山)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，则AB等于(　　)米．A．asin40°B．acos40°C．atan40°D．3．(2012山东济宁)在△ABC中，若∠A，∠B满足＋2＝0，则∠C＝__________.4.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米．[探究重难方法]考点一、锐角三角

6、函数的定义【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是(　　)A．B．C．D．解析：∵在Rt△ABC中，AB＝13，BC＝5，∴sinA＝＝，故选A．答案：A方法总结求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式．解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须想办法构造一个直角三角形．触类旁通1如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB＝4，BC＝5，

7、则tan∠AFE的值为(　　)A．B．C．D．考点二、特殊角的三角函数值【例2】如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是(　　)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形解析：由sinA＝cosB＝可知，∠A＝∠B＝45°，所以∠C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．答案：C方法总结特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆．触类旁通2计算：

8、－2

9、＋2sin30°－(－)2＋(tan45

10、°)－1.考点三、解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=.求：(1)DE，CD的长；(2)tan∠DBC的值．解：(1)∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cosA＝