数值分析大作业(牛顿下山法,拉格朗日法,切比雪夫法)及Matlab程序

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1、课程设计课程名称：数値分析设计题目：学号：姓名：题目一：解线性方程组的直接法设方程组Ax=b.其屮矩阵中忑=1+0"伙=0,1,…,5),方由相应的矩阵元索计算，使解向量x=(1,】,•••，1)丁。(1)A不变，对b的元素Q加一个扰动10-4,求解方程组；(2)b不变，对A的元素如和％分别加一个扰动10",求解方程组;(3)对上述两种扰动方程组的解做误差分析。一.数学原理：木计算采用直接法小的列主元高斯消元法，高斯列主元消元法原理如下:1、设有n元线性方程组如下：2、第一步：如果all!=0,令lii=ail/all,1=23……,n用(-lil)乘第一个方程加到第i个方程上，得同解方

2、程组:厂d11d12•••dinbad21d22•••d2nb⑴2an-uan-12••an-ln•dnldn2•••dnnbT简记为:A⑵x=b，2)其屮)=Q(1)ij一lii*Q°U,I,j=Z3••,n=b°i-1订*b^i,I=23・・・，n!=0,令=宀心2,1=3......,n第二步:如果a⑵22依据同样的原理，对矩阵进行化间(省略)，依次下去，直到完成!最后，得到上三角方程组：厂dUd12□⑴•••ain&bad22•••d2n&b⑴200

3、方程进行回代求解为:X=『/畀颍yX=(blk)k—工a11%冯)/a,k)一.解题过程：1.曲题中所给条件可求出b。B=6.00007.71569.929912.756016.323820.7813(1)4不变，对〃的元素％加一个扰动10_4,求解方程组。B=[6.00007.71569.929912.756016.323820.7813+0.0001J'解得X=[0.59972.6920-1-85003.39170.00001.1667]'(2)〃不变，对人的元素如和％分别加一个的扰动，求解方程组。1.0000000000000001.0000000000000001.0000000

4、000000001.0000000000000001.0000000000000001.0000000000000001.1000010000000001.2100000000000001.4641000000000011.6105100000000011.0000000000000001.2000000000000002.0736000000000002.4883199999999991.0000000000000001.3000000000000002.8561000000000013.7129300000000011.4400000000000001.690000000000000

5、1.0000000000000001.3310000000000001.7280000000000002.1970000000000001.0000000000000001.4000000000000001.9600000000000002.7439999999999993.8415999999999995.3782399999999981.0000000000000001.5000000000000002.2500000000000003.3750000000000005.0625000000000007.593751000000000x=[0.8258323055935231.742

6、109746543727-0.2595378800249952.0645851144523800.5518321528723031.075278560563062]'三、误弟分析：从上面计算结果可以看出，当系数矩阵或右端向量发生极小的扰动，方程组的解也会产生很大的误差，产生的原因是范德蒙阵为变态阵。由数值计算知识可知

7、0龙

8、

9、vcond(A)什0A

10、

11、其H'cond(A)=

12、

13、A

14、

15、.

16、

17、A-1

18、

19、为条件数，从上式看到，当A的条件数很大时，解的相对谋差也很大，此时的对应的线性方程为病态线性方程组。计算条件数时，取矩阵的无穷范数，经计算得矩阵4、受c,d扰动后的矩阵D和E的条件数为cond

20、(A)=1.0668e+07；cond(B)=6.9639e+06；cond(E)=2.3434e+07；可以看到三个矩阵的条件数非常大，即使系数矩阵或右端向量发生很小的变化，也会导致解产生很大的课差。四、收获与体会：运用matlab编程解决数学问题很方便，病态阵的条件数非常大，给系数矩阵或者右端向量一个很微小的扰动，方程组的解也会产生很大的变动。通过做这个题目，我对让课上抽象病态现象有了直观的认识。题目二：多项式插值在区间[-5,