微积分习题答案

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1、极限习题解答1.试写出一个由［0,1］到(0,1)的一一对应映射.解:x=0x=i”+2‘x=—M=2,3,4…n其他2.求极限lim(a】+1+a?Jn+2+•••+a加y/n+m),JtJt1©+a2+•••+am-0.HT8―解：n->oo^=ilim^aky/n+k=limXak-akyjn+1=lim工eik——二0・“_>叫=1Qn+k+3.用极限定义证明(1)lim(V«+l-V«)=0/l—>00证明：V^>0,欲使乔口_眉心・由于IJ"+1-Vh1=]——-r=<—r=,故只

2、需+即故lim(a/h+1-Vh)=0.w—>00Qn++QnQn便可.则当时，有Iyjn+1一V/?1<£.(2)lim(咖)=1/l—>00证明:因为咖〉1,令咖=1+冉，则術>0,且lim師)=1等价于liman=0./2—>0072TOO由于1?J2Il=(1+cin)n=1+ncinH—/i(/i—l)a「+•••+a；；>—n(/i—1)°川，22所以2n-100,取N=l+n>N时，有故liman=0.从而lim(昕)=1.n—>oon—>oo4.利用夹逼定理求极限

3、(1)HnJ"••…⑵，1)；Hfg246(2n)解法1:因为2=i±2>7T3,2◎T)+0+1)〉J(2〃_1)0+1),VT522/2所以135••…(2/1-1)°v1*3*5(2/i_1)<2-4-6••…(2n)Vb3-Vr5-VT7••…J(2〃-1)⑵2+1))山于lim/1二V2n+10,所以liJ"••…⑵-I)"ng2-4-6(2/?)解沁令“雷皆则22-42-62••…(2n)2易知liJ"••…(2-1)“21・3•5(2z?—1)k2-4-6(2/?)丿"Ts2-4-

4、6(In)解法3：川兀••…⑵一)¥2-4-6(2h)357到制"••…(mi),“too2-4-6(2t?)(2)lim工a；/r—>oo,其中ak>0(/:=12…冲)•解：令a=min{^,},A=max{<7.},则cok-J.a5.设叫=（1+丄）间（易知数列｛/｝收敛于e）.n（1）研究数列"｝的单调性；（2）利用（1）的结果证明丄

5、vln（l+丄）v丄对于任意正整数斤都成立.n+inn解：（1）冷=（1+丄严（1+亠“〃一1（1+丄严nn1H〔亠古•丄4=(1+亠)”•一]+丄n+1n-In+32—〉]n>(1+^—)•—3o—1n+—n—1所以数列{£}单调减.(2)・・・nm(l+-)n+1=lim(14--)n=e,且(1+丄严单调减，(1+丄)“单调增,XT8nX*Hnn...(i+丄)”+】>£,(i+丄nn分别两边取対数S+l)ln(l+5>lnln(l+l)>1nnn+1〃•ln(1+丄)

6、ln(1+—)<—nnn所以10,•/liman=A,RTSW•・・{〜}单增，且®•〉£.•.当吐请4V。£<%"•・•对于讯涵许在使kflnk>n•••5§a叫又有狗帚则有界・•・{%}为有界单增列,其极限值A=sup{%}.・.an<%<4・•.当A-£

7、,..・)，其中仏｝是一有界非负数列，试证数列伉｝收敛.证法1：单调有界收敛定理.设05(),市]0“+】皿+牛+...+如J<丄理10卄210卄加10〃+11]0"91010〃9"得”>log苦取川=log^-+1,贝IJ对于任意的a?>N,加>0,均仃

8、a“+加一°」,即数歹ll｛a是一Cauchy列，

9、所以收敛.8.设乞=“+仆/+°2八+・・・+°/"，其屮冋<1且数列血｝有界，试证数列僦｝收敛.严证明:Cauchy收敛准则.设ak

10、0,因为an+m~—an+m5(严+厂25~an+m-l+an+m-l~勺?+加-21+…+an+